równanie funkcyjne

hubertwojtowicz · Post autor: **hubertwojtowicz** » 3 sie 2010, o 20:40

Mam do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=\sqrt x, \ x\in R}\)
Czy ktoś może ma jakiś pomysł?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 sie 2010, o 20:57

Może warto zacząć od prostszego przypadku, gdy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągiem liczbowym? Równanie \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) być może uda się rozwiązać metodą funkcji tworzących.
Jeśli otrzymamy wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}}\), można próbować na jego podstawie odgadnąć wzór funkcji spełniającej dane równanie funkcyjne. Ale czy to będzie jedyna taka funkcja, tego nie wiem.

frej · Post autor: **frej** » 4 sie 2010, o 21:34

Wystarczy jakkolwiek zdefiniować \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ [0,1)}\) a potem to już rekurencyjnie.

hubertwojtowicz · Post autor: **hubertwojtowicz** » 5 sie 2010, o 19:03

frej, dlaczego akurat na na [0,1)? Możesz troszeczkę rozwinąć swoją myśl?

ordyh · Post autor: **ordyh** » 5 sie 2010, o 23:51

Jeśli znamy f(x), to możemy obliczyć f(x+1), potem z f(x+1) możemy obliczyć f(x+2), ..., f(x+k) dla dowolnego k całkowitego. Każdą liczbę rzeczywistą możemy zapisać jako \(\displaystyle{ x=k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ r in [0;1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = f(k+r)}\), a do obliczenia tego potrzebujemy wartość \(\displaystyle{ f(r)}\), nie wiem jak ładnie w słowa ubrać, ale mam nadzieję że zrozumiałeś ;p