Paradoks Achillesa i żółwia
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
Na YouTube został sformułowany następujący problem:
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
Ostatnio zmieniony 4 sie 2010, o 14:01 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Paradoks Achillesa i żółwia
post702339.htm
Jakieś nowe argumenty masz? Bo już Twoje pomysły obaliliśmy raz
Jakieś nowe argumenty masz? Bo już Twoje pomysły obaliliśmy raz
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
Coś się wam przyśniło z tym, że obaliliście coś tam.miodzio1988 pisze:https://matematyka.pl/post702339.htm
...już Twoje pomysły obaliliśmy raz
Piszcie miodzio1988 na temat i odnoście się do treści, a treść jest oczywista
1) żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) Achilles zrównuje się z żółwiem
3) Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Co chcecie obalać - FAKT nie podlegający dyskusji?
Nie obalajcie miodzio1988 tylko piszcie na temat.
\(\displaystyle{ \pm}\)
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Jako że temat ten nie dotyczy rozwiązania jakiegoś zadania, a raczej Autor chce wykazać nam naszą nieznajomość matematyki i przedyskutować ją, zdecydowałem się przenieść temat.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
A we mnie jest strach.
Strach zaczynać rozmowę z kimś kto pisze takie oto mądrości:
W paradoksie wyścigu żółwia i Achillesa, mamy do czynienia ze skracaniem dwóch parametrów opisujących ruch: drogi i czasu.
Skoro skwantowałeś odległość* to wypadałoby również to samo zrobić z czasem. A ponadto proponuję równolegle do analizy odległości zająć się analizą czasu. Dopiero wtedy możemy coś więcej powiedziec o tym ruchu.
* - a możesz powiedzieć ile punktów liczy odcinek o długości 1cm?
Strach zaczynać rozmowę z kimś kto pisze takie oto mądrości:
ale spróbuję:Oczywiście, że można punkt styku okręgu z odcinkiem podzielić
na dowolną ilość punktów jeszcze mniejszych, ale nie będą to już
liczby rzeczywiste. Na osi liczbowej będą w tym samym miejscu.
Aby je zobaczyć musiałbyś przeskalować oś.
-----------------------------------------------------------------------
post w którym wyjaśniałem różnicę pomiędzy punktem w geometrii (punkt, który ma ciało)
a BRAKpunktem (punkt, który nie ma ciała).
W paradoksie wyścigu żółwia i Achillesa, mamy do czynienia ze skracaniem dwóch parametrów opisujących ruch: drogi i czasu.
Skoro skwantowałeś odległość* to wypadałoby również to samo zrobić z czasem. A ponadto proponuję równolegle do analizy odległości zająć się analizą czasu. Dopiero wtedy możemy coś więcej powiedziec o tym ruchu.
* - a możesz powiedzieć ile punktów liczy odcinek o długości 1cm?
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
Wyjaśniam:Althorion pisze:Jako że temat ten nie dotyczy rozwiązania jakiegoś zadania, a raczej Autor chce wykazać nam naszą nieznajomość matematyki i przedyskutować ją, zdecydowałem się przenieść temat.
Zrównanie się Achillesa i żółwia jest równoznaczne z osiąganiem granicy podziału połówkowego, dlatego wątek został umieszczony w dziale Analiza. Kroki Achillesa i żółwia są uporządkowanym szeregiem dlatego wątek został umieszczony w części Ciągi i szeregi funkcyjne.
Odpowiedź na pytanie które zadałem jest rozwiązaniem konkretnego zadania w temacie osiągania i przekraczania granicy zbioru.
Zenon z Elei zaprezentował problem, któremu nadano nazwę "Paradoks Achillesa i żółwia".Inkwizytor pisze:W paradoksie wyścigu żółwia i Achillesa, mamy do czynienia ze skracaniem dwóch parametrów opisujących ruch: drogi i czasu.
Pytanie brzmi:
Czy Achilles zrównuje się z żółwiem, a więc czy podział połówkowy osiąga rekurencyjnie granicę?
W temacie ilości punktów na odcinku o długości 1cm w tym momencie nie będę się wypowiadał.
Istotne jest pytanie:
Czy Achilles zrównuje się z żółwiem i jaka jest długość ostatniego kroku?
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Odpowiem w 1 zdaniu: krok Achillesa nie jest liczbą naturalną. Chyba że przypiszesz mu pewną określoną i skończoną wartość ze zbioru liczb naturalnych. Od razu podpowiem: alef 0 i continuum nie należą do tego zbioru...1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
To już prezentowałeś w innym wątku, więc nie ma potrzeby kolejny raz tego wałkować. Rozważany jest problem z 1. postu.Zenon z Elei zaprezentował problem, któremu nadano nazwę "Paradoks Achillesa i żółwia".
Pytanie brzmi:
Mikołaj Człowiek* z Bydgoszczy.
-
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Po pierwsze nie każda granica jest osiągalna (uwaga dotycząca granicy ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz szeregu geometrycznego o tym samym ilorazie- zapewne ma on związek z wspomnianym przez Ciebie podziale połówkowym).Robakks pisze:Na YouTube został sformułowany następujący problem:
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
Wydaje mi się że Twoje pytania wynikają z niezrozumienia pozorności tego paradoksu- jeżeli Achilles stawia coraz mniejsze kroki oraz mogą one być dowolnie małe nie jest niczym złym stwierdzenie, że być może nie może dobiec dowolnie daleko. Jeżeli natomiast długość kroku jest ograniczona z dołu przez pewną dodatnią liczbę to niewątpliwie przegoni żółwia o ile tylko porusza się szybciej od niego, a argumentacja stosowana do poprzedniego przypadku jest po prostu niepoprawna.
Nie wiem czym jest rekurencyjne osiąganie granicy, ale w pierwszym przypadku badany ciąg swojej granicy nie osiąga.
W pierwszym poście pytałeś o następniki pewnych obiektów- w oczywisty sposób nie istnieją, skoro można zaprzeczyć nie tylko ich przynależności do zbioru liczb naturalnych, ale także w ogóle ich istnieniu.
Ciężko mówić także o wyprzedzeniu o punkt, ponieważ powszechnie użytkowana metryka euklidesowa dla elementów prostej przyjmuje wartości rzeczywiste- możemy powiedzieć że punkty są odległe o 2 albo o 7. Mówiąc ze są odległe o odcinek (niezależnie od tego jak głupi to brzmi) mamy zapewne na myśli, ze są odległe o jego długość. Przenosząc poprzez analogię znaczenie tego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że dwa punkty są odległe o punkt, jeżeli odległość miedzy nimi wynosi 0. Byc może miałeś na myśli coś innego, ale pamiętaj, że odkrywając istniejące już teorie na nowo i zmieniając ich założenia nie możemy oczekiwać, że nie otrzymamy natychmiastowej sprzeczności.
Jeżeli wciąż nie jest to jasne to spróbuj wskazać liczbę naturalną, o postulowanych własnościach, a ja wtedy wskażę jej następnik
Swoją droga dobrze, że już wróciłeś skoro założyciel tematu o "hipotezie reinmana" zdołał tak szybko dostać bana i dyskusja na tego typu tematu umarła:)
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
miki999 pisze:Odpowiem w 1 zdaniu: krok Achillesa nie jest liczbą naturalną. Chyba że przypiszesz mu pewną określoną i skończoną wartość ze zbioru liczb naturalnych. Od razu podpowiem: alef 0 i continuum nie należą do tego zbioru...
Mikołaj Człowiek* z Bydgoszczy.
Przypomnę więc o co chodzi w "paradoksie Achillesa i żółwia".pawels pisze:Nie wiem czym jest rekurencyjne osiąganie granicy, ale w pierwszym przypadku badany ciąg swojej granicy nie osiąga.
Achilles i żółw poruszają się po tej samej prostej z jednostajną prędkością, przy czym prędkość Achillesa jest dwukrotnie większa niż prędkość żółwia. Achilles startuje z punktu A, żółw startuje z punktu B, a w punkcie C zrównują się:
--A----------B----------C----------B'----------A'----
Zanim Achilles i żółw zrównają się w punkcie C to żółw wyprzedza Achillesa. Po przekroczeniu punktu C Achilles wyprzedza żółwia. Długość odcinka AB jest równa długości odcinka BC. Słowem KROK nazwano kolejne odcinki wyznaczane odległością pomiędzy żółwiem a Achillesem w chwili Gdy Achilles osiąga poprzednie położenie żółwia, a długość odcinka AC określono jako \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ Krok 1}\) ma więc długość \(\displaystyle{ 1/2}\), krok drugi ma długość \(\displaystyle{ 1/4}\)a każdy kolejny krok jest o połowę krótszy od poprzedniego.
Rekurencyjne osiąganie granicy właśnie tego dotyczy: występuje bezpośrednia zależność pomiędzy krokiem następującym a poprzedzającym, a granicą jest moment gdy Achilles i żółw zrównują się w punkcie C.
W odpowiedzi proszę odnosić się nie do swoich wyobrażeń ale do tekstu, który napisałem. OK?
-
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Wciąż nie widzę, co rekurencyjne określenie długości kroku ma wspólnego z osiąganiem granicy (z samą granicą ma bardzo wiele- np. pozwala ją wyznaczyć).
Trzeba pamiętać, że przy wyciąganiu wniosków ze swoich rozmyślań a następnie konfrontowaniu ich z istniejącymi wynikami rozwoju teorii należy nie przyjmować ze pewnik tego co podsuwa intuicja tylko przeprowadzić formalny dowód.
Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec może sugerować, że wykonany został ostatni krok- jednak skąd pewność? Jest to tylko podpowiedź intuicji, która akurat w tym przypadku zawodzi.
Po pierwsze można spojrzeć na problem inaczej- zamiast widzieć malutkie kroczki wykonywane przez ludzika można spojrzeć na kawałki drogi które pokonuje- są coraz mniejsze ale jeżeli weźmiemy ich dowolna liczbę to i tak nie zapełnią nam całego jednostkowego odcinka (każdy z nich ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\) dla pewnego k naturalnego, większego od 1 i można nawet spróbować podjąć się nietrudnego dowodu, że biorąc dowolną liczbę tych kawałków całego odcinka nie złożymy). Co zatem z naszym paradoksem? Przecież wszystkie kawałki wypełniają cały odcinek? Gdy już wymyśli się, że będzie ich "nieskończenie wiele" można sięgnąć po teorię mnogości i pokazać, że zbiór złożony z takich małych kawałeczków jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wówczas jak na dłoni widać, że ostatniego kroku nie będzie.
Teraz co do granicy ciągu- trzeba pamiętać że nie jest to wartość naszej funkcji w wyimaginowanym "punkcie nieskończoność", tylko bardzo konkretna własność ciągu, jasno określona przez definicję. Nie można spodziewać się, że będzie ona zgodna z naszymi wszystkimi przemyśleniami, a próba formalizacji takich sposobów myślenia o granicy ciągu bardzo często prowadzi do sprzeczności.
Trzeba pamiętać, że przy wyciąganiu wniosków ze swoich rozmyślań a następnie konfrontowaniu ich z istniejącymi wynikami rozwoju teorii należy nie przyjmować ze pewnik tego co podsuwa intuicja tylko przeprowadzić formalny dowód.
Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec może sugerować, że wykonany został ostatni krok- jednak skąd pewność? Jest to tylko podpowiedź intuicji, która akurat w tym przypadku zawodzi.
Po pierwsze można spojrzeć na problem inaczej- zamiast widzieć malutkie kroczki wykonywane przez ludzika można spojrzeć na kawałki drogi które pokonuje- są coraz mniejsze ale jeżeli weźmiemy ich dowolna liczbę to i tak nie zapełnią nam całego jednostkowego odcinka (każdy z nich ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\) dla pewnego k naturalnego, większego od 1 i można nawet spróbować podjąć się nietrudnego dowodu, że biorąc dowolną liczbę tych kawałków całego odcinka nie złożymy). Co zatem z naszym paradoksem? Przecież wszystkie kawałki wypełniają cały odcinek? Gdy już wymyśli się, że będzie ich "nieskończenie wiele" można sięgnąć po teorię mnogości i pokazać, że zbiór złożony z takich małych kawałeczków jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wówczas jak na dłoni widać, że ostatniego kroku nie będzie.
Teraz co do granicy ciągu- trzeba pamiętać że nie jest to wartość naszej funkcji w wyimaginowanym "punkcie nieskończoność", tylko bardzo konkretna własność ciągu, jasno określona przez definicję. Nie można spodziewać się, że będzie ona zgodna z naszymi wszystkimi przemyśleniami, a próba formalizacji takich sposobów myślenia o granicy ciągu bardzo często prowadzi do sprzeczności.
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.pawels pisze:Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec...
Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Teraz to ja już zgłupiałem:
Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.
Dobrze zrozumiałem, że pytasz się o kroki, których nie robi?Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
- Robakks
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: Kraków
Paradoks Achillesa i żółwia
Czytaj ze zrozumieniem:Althorion pisze:Dobrze zrozumiałem, że pytasz się o kroki, których nie robi?
"Słowem KROK nazwano kolejne odcinki wyznaczane odległością pomiędzy żółwiem a Achillesem w chwili Gdy Achilles osiąga poprzednie położenie żółwia."
Achilles nie robi kroków podobnie jak nie robi kroków pociąg poruszający się po torach i mijający kolejne stacje. Człowiek ma taką możliwość by odległości pomiędzy stacjami zaliczać do konkretnych kroków np.
gdy pociąg nie pokonał jeszcze połowy trasy to znajduje się w pierwszym kroku. Gdy pokona połowę
ale nie pokonał jeszcze 3/4 to znajduje się w drugim kroku itd.
Gdy pociąg zatrzymuje się na stacji docelowej to podział połówkowy kończy się, bo granica została osiągnięta.
-
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Otóż napisałem, że poglądowo wygodniej patrzeć na to jak na kawałki przebywanej drogi- i w tej konwencji znaczeniowej pisałem swój post. Zamiast patrzeć na szczegóły lepiej zbadać sens przesłania i argumentacji wypowiedzi.Robakks pisze:Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.pawels pisze:Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec...
Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?
PS
Nie zdarzyło mi się oglądać w życiu nawet jeden prostej, a co dopiero pary równoległych. Nie widziałem także żadnego punktu i jestem świadomy faktu, że geometria (podobnie jak fizyka) stanowi model rzeczywistości, oraz staram się nie wprowadzać jej szczegółów do modelu tylko konstruuje go w oparciu o przyjęte na początku założenia. Poza tym na płaszczyźnie euklidesowej proste równoległe o dziwo sie nie przecinają, a uprzedzając odpowiedź zaznaczam, że w geometrii rzutowej "punktem w nieskończoności" nazywamy kierunek.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Paradoks Achillesa i żółwia
Nie. To forum matematyczne i do matematyki będziemy się odwoływać.W odpowiedzi proszę odnosić się nie do swoich wyobrażeń ale do tekstu, który napisałem. OK?
Wszyscy go znają- nie musisz.Przypomnę więc o co chodzi w "paradoksie Achillesa i żółwia".
Poproszę o definicję: "rekurencyjne osiąganie granicy". Chyba że przeczytałeś 2 artykuły na wiki (rekurencja + granica) i stworzyłeś pojęcie, które nic nie wnosi.Rekurencyjne osiąganie granicy
Twoje idee nie są ani teoretyczne ani praktyczne. Wymodelowałeś jakiś dziwny układ. Nie można go nazwać fizycznym, bo nie bierzesz pod uwagę wielkości jaką jest czas. W czasie \(\displaystyle{ t=0}\) Achilles przebiegnie zerowy dystans. Super, nie? Zauważ, że dzieląc przebywaną drogę na coraz to mniejsze kawałki, dzielisz również czas. Łatwo zauważyć, że nie przekracza on pewnej wartości \(\displaystyle{ t_0}\), która to jest miejscem spotkania się żółwia i Achillesa. I nie wynika to z niedoskonałości matematyki, tylko modelu jaki ułożyłeś.poprzedzającym, a granicą jest moment gdy Achilles i żółw zrównują się w punkcie C.
Tak.Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?
Gratulacje. Trafiłeś do pierwszej piątki najbardziej próżnych osób na tym forum.Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Pozdrawiam.