Punkty na płaszczyźnie

[Quaerens]

Na płaszczyźnie dane jest n punktów położonych tak, że trzy z nich nie leżą na jednej prostej. Ile różnych prostych można poprowadzić przez te punkty? O wskazówkę poproszę.

[tometomek91]

Sprawdź ile prostych gdy mamy dwa punkty, trzy, odgadnij wzór, a potem indukcją...

Ukryta treść:    

Dla 2 punktów mamy jedną prostą:
\(\displaystyle{ 1=\frac{2(2-1)}{2}}\)
Dla 3 punktów trzy proste:
\(\displaystyle{ 3=\frac{3(3-1)}{2}}\)
Teraz indukcyjnie, ze dla n punktów mamy \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\) - dokładając jeden punkt do n punktów, widzimy, że możemy przez niego i przez pozostałe poprowadzić jeszcze n prostych: \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}+n=...}\)

[Arst]

damianplflow, Twoje pytanie to inaczej: na ile sposobów spośród n punktów można wybrać 2 (2 punkty determinują prostą). Proste prawda? -- 4 sierpnia 2010, 19:23 --

a potem indukcją...

Przecież to zadanie kombinatoryczne a nie na dowodzenie...

[tometomek91]

Przecież to zadanie kombinatoryczne a nie na dowodzenie...

No tak , akurat nie wpadłem na Twoje rozwiązanie..., ale jak już się odgadnie ten wzór, to dobrze go udowodnić.

[Quaerens]

damianplflow, Twoje pytanie to inaczej: na ile sposobów spośród n punktów można wybrać 2 (2 punkty determinują prostą). Proste prawda?

-- 4 sierpnia 2010, 19:23 --

a potem indukcją...

Przecież to zadanie kombinatoryczne a nie na dowodzenie...

ogólnie spośród n punktów można wybrać na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposóbów, ale trzy nie leżą na prostej, więc chyba: \(\displaystyle{ {n-3 \choose 2}}\)

[Afish]

ogólnie spośród n punktów można wybrać na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposóbów, ale trzy nie leżą na prostej, więc chyba: \(\displaystyle{ {n-3 \choose 2}}\)

Wyrażenie "żadne trzy nie leżą na jednej prostej" informuje nas, że żadne trzy punkty nie są współliniowe - czyli każde dwa punkty wyznaczają nową prostą. Odpowiedzią jest zatem \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)

[Arst]

Na płaszczyźnie dane jest n punktów położonych tak, że trzy z nich nie leżą na jednej prostej

Jeśli się nie mylę w treści zadania jest mowa o punktach, które wstępnie tak są rozmieszczone, że nie da się przez 3 poprowadzić prostej.

update: znowu ktoś mnie ubiegł

[Quaerens]

dzięki mistrzunie