wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 11 maja 2010, o 00:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 13^{2001}}\)
Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Widziałam podobne zadania na forum, ale ich nie rozumiem.
Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Widziałam podobne zadania na forum, ale ich nie rozumiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Z czego wynika, że
\(\displaystyle{ 13^{2000} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Wystarczy obustronie pomnożyć razy 13 i mamy
\(\displaystyle{ 13^{2001} \equiv 13 \quad \text{(mod 100)}}\)
Czyli ostatnie dwie cyfry \(\displaystyle{ 13^{2001}}\) to 13.
Z czego wynika, że
\(\displaystyle{ 13^{2000} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Wystarczy obustronie pomnożyć razy 13 i mamy
\(\displaystyle{ 13^{2001} \equiv 13 \quad \text{(mod 100)}}\)
Czyli ostatnie dwie cyfry \(\displaystyle{ 13^{2001}}\) to 13.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 11 maja 2010, o 00:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
Dzięki
Obawiam się, że autorowi zadania mogło chodzić o dwie ostatnie liczby? Czyli jeszcze jeśli byś mógł to przedostatnią liczbę poproszę.
Nie wiem o co w tym chodzi, więc może ja teraz mówię głupoty.
Obawiam się, że autorowi zadania mogło chodzić o dwie ostatnie liczby? Czyli jeszcze jeśli byś mógł to przedostatnią liczbę poproszę.
Nie wiem o co w tym chodzi, więc może ja teraz mówię głupoty.
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
Z pewnością chodzi o dwie ostatnie cyfry, czyli '1' i '3'. Nie wiem czym miałyby być "dwie ostatnie liczby".
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
W excelu się liczyBratower pisze:Skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
- Bratower
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
Wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź na moje pytanie.
\(\displaystyle{ \boxed{13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}}\)
\(\displaystyle{ {13^{20} \equiv 3^{20} \equiv 3^{4^{5}}\equiv 81^5 \equiv 81^4 \cdot 81 \equiv 61^2 \cdot 81 \equiv 21 \cdot 81\equiv 1 \pmod{100}} \\ {13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
\(\displaystyle{ \boxed{13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}}\)
\(\displaystyle{ {13^{20} \equiv 3^{20} \equiv 3^{4^{5}}\equiv 81^5 \equiv 81^4 \cdot 81 \equiv 61^2 \cdot 81 \equiv 21 \cdot 81\equiv 1 \pmod{100}} \\ {13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Ostatnio zmieniony 3 lis 2018, o 23:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby
Poza tym, że w pewnym miejscu powinno być raczej \(\displaystyle{ (3^4)^5}\) (ale to kwestia zapisu) wygląda OK.
Można też odnotować, że z twierdzenia Eulera mamy \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{25}}\), a ponadto łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 13\equiv 1\pmod{4}}\), więc i \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{4}}\),
z tej pierwszej informacji widzimy, że \(\displaystyle{ 13^{20}\pmod{100}\in \left\{ 1,26,51,76\right\}}\), a z tej drugiej możemy wykluczyć \(\displaystyle{ 26, \ 51, \ 76}\). Niby to przywalenie dość mocnym narzędziem, ale unikamy zgadywania, jakie to potęgi zredukować.
Można też odnotować, że z twierdzenia Eulera mamy \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{25}}\), a ponadto łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 13\equiv 1\pmod{4}}\), więc i \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{4}}\),
z tej pierwszej informacji widzimy, że \(\displaystyle{ 13^{20}\pmod{100}\in \left\{ 1,26,51,76\right\}}\), a z tej drugiej możemy wykluczyć \(\displaystyle{ 26, \ 51, \ 76}\). Niby to przywalenie dość mocnym narzędziem, ale unikamy zgadywania, jakie to potęgi zredukować.