Problem z Całką

[MadEagle]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{xdx}{ \sqrt[3]{2x^{2} -1} } =}\)

\(\displaystyle{ \left |2x^{2} -1 = t \right|}\)
\(\displaystyle{ \left |4xdx = dt \right|}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt[3]{t} } = \frac{1}{4} \int_{}^{} t ^{-\frac{1}{3}} dt}\)

Jak obliczyć dalej ?

[lukasz1804]

Masz na myśli całkę \(\displaystyle{ \int\frac{x dx}{\sqrt[3]{2x^2-1}}}\)?

Zastosuj wzór na całkowanie funkcji potęgowej \(\displaystyle{ \int t^{\alpha}=\frac{1}{\alpha+1}t^{\alpha+1}+C}\)

(Lepsze byłoby podstawienie \(\displaystyle{ 2x^2-1=t^3}\) - wtedy mamy \(\displaystyle{ 4xdx=3t^2dt}\), więc \(\displaystyle{ \int\frac{x dx}{\sqrt[3]{2x^2-1}}=\frac{3}{4}\int t dt=\frac{3}{8}t^2+C=\frac{3}{8}\sqrt[3]{(2x^2-1)^2}+C}\).)

[MadEagle]

wtedy mamy \(\displaystyle{ 4xdx=3t^2dt}\)

A to skąd się wzięło?

[lukasz1804]

Pochodną względem \(\displaystyle{ x}\) funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto 2x^2}\) jest funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto 4x}\), natomias pochodną względem \(\displaystyle{ t}\) funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto t^3}\) jest funkcja \(\displaystyle{ t\mapsto 3t^2}\).

[MadEagle]

Ok, czyli \(\displaystyle{ f \left(x \right)= t^{'}= \left(2x^{2}-1 \right)^{'}= 2 * 2*x^{1}=4x}\)
i tu mi się zgadza, a jak z tą drugą pochodną?

PS.
Dziękuje, za wyrozumiałość

[kuma]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{xdx}{ \sqrt[3]{2x^{2} -1} } =}\)

\(\displaystyle{ \left |2x^{2} -1 = t \right|}\)
\(\displaystyle{ \left |4xdx = dt \right|}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt[3]{t} } = \frac{1}{4} \int_{}^{} t ^{-\frac{1}{3}} dt}\)

Jak obliczyć dalej ?

To co napisałeś jest dobrze. Teraz wystarczy policzyć łatwą całkę z \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int_{}^{} t ^{-\frac{1}{3}} dt=\frac{1}{4}*( \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}})=\frac{1}{4}*( \frac{3}{2} (2x^{2}-1)^{\frac{2}{3}})=\frac{3}{8}(2x^{2}-1)^{\frac{2}{3}}}\)

[MadEagle]

\(\displaystyle{ ( \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}})}\)

Mógł byś rozpisać jak do tego doszedłeś?

[przemon]

\(\displaystyle{ ( \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}})}\)

Mógł byś rozpisać jak do tego doszedłeś?

Zastosuj wzór na całkowanie funkcji potęgowej \(\displaystyle{ \int t^{\alpha}=\frac{1}{\alpha+1}t^{\alpha+1}+C}\)

Wystarczy podstawić do tego wzoru.

[MadEagle]

Zastosuj wzór na całkowanie funkcji potęgowej \(\displaystyle{ \int t^{\alpha}=\frac{1}{\alpha+1}t^{\alpha+1}+C}\)

Wystarczy podstawić do tego wzoru.

Podstawiam
\(\displaystyle{ \int t^{ -\frac{1}{3}}=\frac{1}{ \frac{1}{3} +1}t^{\frac{1}{3}+1}+C}\)

\(\displaystyle{ t^{ -\frac{1}{3}}= \frac{1}{\frac{2}{3}}}}{\frac{2}{3}}}+C = \frac{2}{\frac{6}{3}}}}+ C=}\) ..i tutaj nie wiem jak dalej obliczyć

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \int t^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{-\frac{1}{3}+1}t^{-\frac{1}{3}+1}+C=\frac{1}{\frac{2}{3}}t^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C}\)

[MadEagle]

Ok dzięki Łukasz.

Mógł byś Mi podać jakieś zadania z których mógł bym sobie poćwiczyć?

[miodzio1988]

82336.htm

Tutaj masz masę zadań

[MadEagle]

Dzięki. Nie przypuszczałem, że znajdę tyle pomocnych ludzi na forum. Miłe zaskoczenie