Ekstrema i Asymptoty

[MadEagle]

Znajdź ekstrema lokalne i asymptoty dla:
\(\displaystyle{ f\left(x \right) =\frac{x}{2}+\frac{2}{x}}\)
Więc wyznaczam dziedzinę:
D:\(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Obliczam pochodną:
\(\displaystyle{ f '\left(x \right) =(\frac{1}{2}\cdot x+2 x^{-1})^{'}=(\frac{1}{2}\cdot x^{1-1}-2x^{-2})^{'}=\frac{1}{2}-2x^{-2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}}\)

Podstawiam liczby:
\(\displaystyle{ f\left( -3 \right)=\frac{5}{18}}\)

\(\displaystyle{ f\left( -2 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ f\left( -1 \right)=1}\)

\(\displaystyle{ f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ f\left( 2 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ f\left( 3 \right)=\frac{5}{18}}\)

Rysuje wykres(nie wiem jak zrobić to w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-ie)

I tutaj pytania..
1.Jakie jest minimum lokalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(2)\cup f(-2)}\)?
2.Jakie jest ekstremum lokalne i globalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(-1)\cup f(1)}\) ?
3.Jak oblicza się asymptoty i czy w ogóle są?

[lukasz1804]

W celu zbadania istnienia ekstremów lokalnych funkcji, wykorzystaj warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum.

Warunki istnienia asymptot są po krótce opisane w 80977.htm .

(Nie trzeba szkicować wykresu funkcji, by zbadać istnienie ekstremów funkcji czy asymptot jej wykresu.)

[MadEagle]

Dzięki za informację, ale jak bym wiedział jak wykorzystać ten warunek to nie szukałbym pomocy, tylko go wykorzystał.

Czyli wychodzi na to, że asymptoty nie istnieją?

[lukasz1804]

To po kolei zbadajmy daną funkcję.

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=0\iff x^2=4\iff (x=-2\vee x=2)}\). Zatem z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego funkcji wynika, że ekstremum może być osiągane dla wyznaczonych dwóch argumentów. Ale czy jest tam ono faktycznie osiągane, należy sprawdzić korzystając z warunku wystarczającego.

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\). Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).

Teraz asymptoty.
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}\), to prosta \(\displaystyle{ x=0}\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Mamy dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\), więc można się spodziewać istnienia asymptoty ukośnej (poziome nie istnieją).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-ax]=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-ax]=0}\), więc prosta \(\displaystyle{ y=ax+b=\frac{1}{2}x}\) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[MadEagle]

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).

A nie powinien się znajdować tam " - " ?

\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)

Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).

Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.

I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.

Asymptoty już rozumiem.

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).

A nie powinien się znajdować tam " - " ?

\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)

Masz rację.

Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.

I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.

Dokładnie tak.