Witam! Mam mały problem, otóż muszę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\)
Próbowałem zapisywać pierwiastki w postaci potęgi, dalej próbowałem podnosić do sześcianu, jednak nic sensownego nie otrzymałem :/ Mógłbym prosić o WSKAZÓWKĘ? Chodzi mi tylko o jakiś punkt zaczepienia, dalej sobie poradzę
Pozdrawiam.
Udowodnij, że wyrażenie = 1
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
Udowodnij, że wyrażenie = 1
Zapisz równanie w postaci \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = x}\).
Podnieś równanie obustronnie do trzeciej potęgi. Uporządkuj całość. Powinieneś dojść do momentu, w którym \(\displaystyle{ 4 - 3\left( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \right) = x^3}\), wyrażenie w nawiasie to wcześniej ustalony x, czyli całość sprowadzamy do równania 3 stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 4 = 0}\) i obliczamy pierwiastki. Jedynym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x = 1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\), co należało udowodnić.
Podnieś równanie obustronnie do trzeciej potęgi. Uporządkuj całość. Powinieneś dojść do momentu, w którym \(\displaystyle{ 4 - 3\left( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \right) = x^3}\), wyrażenie w nawiasie to wcześniej ustalony x, czyli całość sprowadzamy do równania 3 stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 4 = 0}\) i obliczamy pierwiastki. Jedynym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x = 1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\), co należało udowodnić.
Ostatnio zmieniony 1 sie 2010, o 16:44 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 10 sty 2009, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: brak
- Pomógł: 5 razy
Udowodnij, że wyrażenie = 1
Mam jeszcze jedno pytanie Jeżeli mam:
\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
To wyrażenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -x}\) ?
Bo mi właśnie coś takiego wyszło, i nie jestem do końca pewien, czy tak jest poprawnie, niby jakbym tak zrobił, to wynik byłby poprawny, jednak wolę się upewnić
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
To wyrażenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -x}\) ?
Bo mi właśnie coś takiego wyszło, i nie jestem do końca pewien, czy tak jest poprawnie, niby jakbym tak zrobił, to wynik byłby poprawny, jednak wolę się upewnić
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
Udowodnij, że wyrażenie = 1
Tak jest to poprawne, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x \cdot y} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y}}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}\), analogicznie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
Po dodaniu obu równań stronami widać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -1 \cdot \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}\right) = -x}\)
Mam nadzieje, że już wszystko jest jasne.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
Po dodaniu obu równań stronami widać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -1 \cdot \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}\right) = -x}\)
Mam nadzieje, że już wszystko jest jasne.
Ostatnio zmieniony 1 sie 2010, o 16:43 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.