Udowodnij, że wyrażenie = 1

[lolks123]

Witam! Mam mały problem, otóż muszę udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\)

Próbowałem zapisywać pierwiastki w postaci potęgi, dalej próbowałem podnosić do sześcianu, jednak nic sensownego nie otrzymałem :/ Mógłbym prosić o WSKAZÓWKĘ? Chodzi mi tylko o jakiś punkt zaczepienia, dalej sobie poradzę

Pozdrawiam.

[Fingon]

Zapisz równanie w postaci \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = x}\).
Podnieś równanie obustronnie do trzeciej potęgi. Uporządkuj całość. Powinieneś dojść do momentu, w którym \(\displaystyle{ 4 - 3\left( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \right) = x^3}\), wyrażenie w nawiasie to wcześniej ustalony x, czyli całość sprowadzamy do równania 3 stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 4 = 0}\) i obliczamy pierwiastki. Jedynym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x = 1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\), co należało udowodnić.

[lolks123]

Mam jeszcze jedno pytanie Jeżeli mam:

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)

To wyrażenie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -x}\) ?

Bo mi właśnie coś takiego wyszło, i nie jestem do końca pewien, czy tak jest poprawnie, niby jakbym tak zrobił, to wynik byłby poprawny, jednak wolę się upewnić

Pozdrawiam.

[lukasz1804]

Dokładnie tak, lolks123.

[lolks123]

Ok, dzięki za pomoc

[Fingon]

Tak jest to poprawne, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x \cdot y} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y}}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}\), analogicznie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
Po dodaniu obu równań stronami widać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -1 \cdot \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}\right) = -x}\)

Mam nadzieje, że już wszystko jest jasne.

[frej]

\(\displaystyle{ 2+\sqrt{5}=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3}\)