Niezależność zdarzeń.

[aderer]

Czy zdarzenia \(\displaystyle{ p(x)}\) i \(\displaystyle{ 1-p(x)}\) są niezależne i można policzyć prawdopodobieństwo, ze wydarzą się jednocześnie poprzez \(\displaystyle{ p(x) \cdot (1-p(x))}\) ?

[kadiii]

A czy znasz chociazby warunek na niezalezność zdarzeń? A już mówiąc tak nieco mniej formalnie to zdarzenia losowe są niezalezne wtedy kiedy zaszło jedno z nich drugie nie zmienia swojego prawdopodobieństwa wydarzenia(bo jest od niego niezalezne). Jak to jest w twoim przypadku chyba nie trudno wydedukować ?

[Majeskas]

Przy tak zadanym pytaniu nie można udzielić odpowiedzi. Np:

\(\displaystyle{ P(A)=0,8}\)

\(\displaystyle{ P(B)=0,2}\)

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to możemy liczyć:

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)}\)

Jeżeli nie są niezależne, nie możemy tak liczyć. Natomiast nie da się tego stwierdzić na podstawie samych prawdopodobieństw, potrzebna jest informacja o zdarzeniach względem siebie, albo o tym co te zdarzenia opisują.

Chyba, że chodzi Ci o zdarzenia przeciwne:

\(\displaystyle{ P(A)=p}\)

\(\displaystyle{ P(A')=1-p}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap A')=P(\emptyset)=0}\)

\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(A')=p(1-p)}\)

Na podstawie definicji wiadomo, że aby 2 zdarzenia były niezależne prawdopodobieństwo ich iloczynu musi być równe iloczynowi ich prawdopodobieństw:

\(\displaystyle{ p(1-p)=0}\)

Zatem jedynym przypadkiem w którym zdarzenia przeciwne będą niezależne, jest zdarzenie pewne i niemożliwe. W każdym innym przypadku 2 zdarzeń przeciwnych, nie są one niezależne.

[kadiii]

Raczej wynika z zapisu w dość oczywisty sposób, ze autor miał na myśli zdarzenia przeciwne - w innym przypadku zadanie nie miałoby rozwiązania.

[Majeskas]

Moim zdaniem właśnie z takiego zapisu wcale nie wynika przeciwność zdarzeń. Można przyjąć, że o to komuś chodziło i tak przyjąłem.

Ale matematyka jest bardzo konkretna i formalnie rzecz biorąc, jeżeli mamy do czynienia z dwoma zdarzeniami, o których wiemy tyle, że:

\(\displaystyle{ P(A)=0,8}\)

\(\displaystyle{ P(B)=0,2}\)

A tyle możemy wiedzieć na podstawie tego, co powiedział autor zadania, to przecież z tego wcale nie wynika, że zdarzenia są przeciwne.

[kadiii]

Myślę, ze autor otrzymał odpowiedzi na swoje pytania w obu wariantach dlatego nie ma potrzeby już tego rozstrzygać EOT