[Nierówności][Analiza] wykazanie nierówności

[robin5hood]

Jeśli \(\displaystyle{ n \in N}\) pokaż że
\(\displaystyle{ \log n! \geqslant \frac{3} {{10}}n\left( { - 1 + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1} {k}} } \right)}\)

[luka52]

Dość słaba ta nierówność:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} L & =& \sum_{k = 1}^{n} \ln k \ge \int_1^n \ln x \; \mbox d x\\
& = & n ( \ln n - 1) + 1 > \frac{3}{10} n \left( -1 + \ln n \right) \\
& = & \frac{3}{10} n \left( -1 + \int_1^n \frac{\mbox d x}{x} \right) \ge \frac{3}{10} n \left( -1 + \sum_{k = 2}^n \frac{1}{k} \right) \\ & = & P
\end{eqnarray*} $}\)