Trudne równania.

[Micha?12345]

Oblicz :
a) \(\displaystyle{ \sqrt{11-4\sqrt{7} } - \sqrt{29-4 \sqrt{7} }}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt{8-2 \sqrt{15} } - \sqrt{57-12 \sqrt{15} }}\)

c) \(\displaystyle{ \sqrt{13-4 \sqrt{3} } + \sqrt{28+6 \sqrt{3} }}\)

[miodzio1988]

post757046.htm#p757046

Tak jak tutaj

[Micha?12345]

Tak się nie da.

[Majeskas]

Jedynym sposobem uproszczenia czegoś jest pozbycie się pierwiastków.

Wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{(a+b)^2}=|a+b|}\)

Zatem, jeżeli uda się wyrażenia pod pierwiastkami zwinąć we wzory skróconego mnożenia, będzie łatwo.

Pokażę Ci na jednym przykładzie jak to próbować robić:

\(\displaystyle{ (a-b)^2=11-4 \sqrt{7}}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab=11-4 \sqrt{7}}\)

Teraz tak: Możemy założyć, że skoro część tego co pod pierwiastkiem jest naturalne, część niewymierne, to pasowałoby, żeby jedna z liczb a, b była naturalna, a druga niewymierna. Przy takim założeniu możemy zapisać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=11 \\ 2ab=4 \sqrt{7} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ ab=2 \sqrt{7}}\)

Jedyną możliwością, w której jedna liczba będzie naturalna, druga niewymierna, jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b= \sqrt{7} \end{cases}}\)

Przy takim doborze liczb drugie równanie również się zgadza, zatem:

\(\displaystyle{ \sqrt{11-4 \sqrt{7} }= \sqrt{2^2+( \sqrt{7})^2-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} }= \sqrt{(2- \sqrt{7})^2 }=|2- \sqrt{7}|}\)

Na tej samej zasadzie przekształć wszystkie pierwiastki i będziesz w stanie uprościć swoje wyrażenia.

[Micha?12345]

Tak wiem, ale z \(\displaystyle{ \sqrt{29-4 \sqrt{6} }}\) mam kłopot.

[miodzio1988]

Tak wiem, ale z \(\displaystyle{ \sqrt{29-4 \sqrt{6} }}\) mam kłopot.

Zrób to w taki sam sposób. Czyli przeprowadź ten sam tok rozumowania. Układzik itd

[marta382]

\(\displaystyle{ \sqrt{29-4\sqrt{6}}}\) na moje oko, to tego wogóle sie nie da rozłożyć na poziomie "prostych zadań"

w początkowych zadaniach jest \(\displaystyle{ \sqrt{29-4\sqrt{7}}}\) czy oto chodzi??

[Micha?12345]

Tak.

[miodzio1988]

To powtórz to rozumowanie:

Ukryta treść:    

Jedynym sposobem uproszczenia czegoś jest pozbycie się pierwiastków.

Wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{(a+b)^2}=|a+b|}\)

Zatem, jeżeli uda się wyrażenia pod pierwiastkami zwinąć we wzory skróconego mnożenia, będzie łatwo.

Pokażę Ci na jednym przykładzie jak to próbować robić:

\(\displaystyle{ (a-b)^2=11-4 \sqrt{7}}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab=11-4 \sqrt{7}}\)

Teraz tak: Możemy założyć, że skoro część tego co pod pierwiastkiem jest naturalne, część niewymierne, to pasowałoby, żeby jedna z liczb a, b była naturalna, a druga niewymierna. Przy takim założeniu możemy zapisać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=11 \\ 2ab=4 \sqrt{7} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ ab=2 \sqrt{7}}\)

Jedyną możliwością, w której jedna liczba będzie naturalna, druga niewymierna, jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b= \sqrt{7} \end{cases}}\)

Przy takim doborze liczb drugie równanie również się zgadza, zatem:

\(\displaystyle{ \sqrt{11-4 \sqrt{7} }= \sqrt{2^2+( \sqrt{7})^2-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} }= \sqrt{(2- \sqrt{7})^2 }=|2- \sqrt{7}|}\)

Na tej samej zasadzie przekształć wszystkie pierwiastki i będziesz w stanie uprościć swoje wyrażenia.

[Micha?12345]

Ale to się nie da tak samo zrobić przecież.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ 29-4\sqrt{7} = 1 - 2 \cdot 2 \sqrt{7} + 28=(1- 2 \sqrt{7}) ^{2}}\)

Widać da się. reszta analogicznie

[Mersenne]

c)

\(\displaystyle{ \sqrt{13-4\sqrt{3}}+\sqrt{28+6\sqrt{3}}=\sqrt{(1-\sqrt{12})^{2}}+\sqrt{(1+\sqrt{27})^{2}}=}\)

\(\displaystyle{ =|1-\sqrt{12}|+|1+\sqrt{27}|=-1+\sqrt{12}+1+\sqrt{27}=\sqrt{12}+\sqrt{27}=}\)

\(\displaystyle{ =2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}}\)

[Micha?12345]

Już rozumiem , ale w podpunkcie b nie da się tego zastosować.

[miodzio1988]

Już rozumiem , ale w podpunkcie b nie da się tego zastosować.

Da się. I ludzie nie dawajcie mu gotowca , bo on takimi tekstami Was podpuszcza (nie da się, więc pokażcie jak to jest..) Miejcie swój honor

Ostatnia Twoja szansa żebyś się czegoś nauczył. Dostałeś masę przykładów. Zrób analogicznie

[marta382]

w b musisz bardziej pokombinowac, bo \(\displaystyle{ 15=3\cdot5}\) wiec, pewnie rozwiazaniem bedzie jakies \(\displaystyle{ a\sqrt{3}-b\sqrt{5}}\). znajdz a i b