Zadania z XIX w.

[marta382]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

W trójkącie dane są różnica dwóch boków, różnica kątów leżących naprzeciw oraz promień okręgu dopisanego do trzeciego boku. Ile wynoszą kąty w tym trójkącie? \(\displaystyle{ a-b=73}\), \(\displaystyle{ \rho_c=287}\), \(\displaystyle{ \alpha- \beta =22^o15^{'}48^{''}}\)

oraz

Wyznacz kąty w trójkącie znając jego obwód (\(\displaystyle{ u}\)), promień okręgu wpisnego (\(\displaystyle{ r}\)) oraz sumę dwóch wysokości (\(\displaystyle{ s}\)). \(\displaystyle{ u=68}\), \(\displaystyle{ r=13.5}\), \(\displaystyle{ s=40}\)

[lukasz1804]

Oto mój pomysł odnośnie drugiego z zadań (dość elementarny). Ograniczę się do wyznaczenia miary jednego z kątów, gdyż dla pozostałych kątów rozumowanie jest analogiczne.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą długościami boków trójkąta, a \(\displaystyle{ \alpha}\) kątem między bokami \(\displaystyle{ a,b}\).
Z założenia i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ur}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ s=\frac{P}{\frac{1}{2}a}+\frac{P}{\frac{1}{2}b}=2P\cdot\frac{a+b}{ab}}\) oraz \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\), więc

\(\displaystyle{ s=(a+b)\sin\alpha=(u-c)\sin\alpha}\).

Wystarczy teraz znaleźć długość boku \(\displaystyle{ c}\) w zależności np. od pewnej wartości funkcji trygonometrycznej kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Możemy to uczynić korzystając z twierdzenia kosinusów. Mamy \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha=(a+b)^2-2ab(\cos\alpha+1)=(u-c)^2-2ab(\cos\alpha+1)=(u-c)^2-\frac{4P}{\sin\alpha}(\cos\alpha+1)=(u-c)^2-2ur\cdot\frac{\cos\alpha+1}{\sin\alpha}}\), skąd

\(\displaystyle{ 2c=u^2-2ur\cdot\frac{\cos\alpha+1}{\sin\alpha}}\).

Wyznaczoną tu wartość \(\displaystyle{ c}\) należy wstawić do prawej strony równości określającej \(\displaystyle{ s}\) - otrzymamy w ten sposób równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ \alpha}\). Z tego równania wyznacz \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) (stosując pewnie po drodze jedynkę trygonometryczną). Ta wartość funkcji trygonometrycznej jednoznacznie podaje miarę kąta (o ile da się dokładnie tę miarę określić).

Pozdrawiam

[Patrycjakkkk]

Dziękuję:*