prawdopodobieństwo wylosowania w urnie
- alchemik
- Użytkownik
- Posty: 285
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 65 razy
prawdopodobieństwo wylosowania w urnie
Urna zawiera \(\displaystyle{ b}\) kul białych i \(\displaystyle{ c}\) kul czarnych. Wykonujemy kolejno następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, a następnie wkładamy ją z powrotem do urny, a wraz z nią dokładamy do urny kulę tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo wylosowania w \(\displaystyle{ n}\)-tym losowaniu kuli białej jest\(\displaystyle{ \frac{b}{b+c}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
prawdopodobieństwo wylosowania w urnie
najlepiej to zrobic z drzewka, policzyc dla n=1, n=2, n=3, n=4 i zauwazyc pewna prawidlowosc-- 25 lipca 2010, 09:08 --i potem jakos przez indukcje pokazac
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
prawdopodobieństwo wylosowania w urnie
Jeżeli w poprzednim rzucie szansa na wylosowanie białej była równa \(\displaystyle{ \frac{b}{b+c}}\), to szansa na wylosowanie czarnej jest równa \(\displaystyle{ \frac{c}{b+c}}\). Jeżeli wylosowaliśmy w poprzednim losowaniu białą, to szansa na kolejne wylosowanie białej jest równa: \(\displaystyle{ \frac{b}{b+c} \cdot \frac{b+1}{b+c+1}}\). Jeżeli poprzednio wylosowaliśmy czarną, to mamy: \(\displaystyle{ \frac{c}{b+c} \cdot \frac{b}{b+c+1}}\). Liczymy szansę na wylosowanie białej:
\(\displaystyle{ \frac{b}{b+c} \cdot \frac{b+1}{b+c+1} + \frac{c}{b+c} \cdot \frac{b}{b+c+1} = \frac{b(b+c+1)}{(b+c)(b+c+1)} = \frac{b}{b+c}}\)
Teraz wystarczy to ładnie zapisać jako indukcja i gotowe.
PS Mam nadzieję, że nie oszukałem nigdzie
\(\displaystyle{ \frac{b}{b+c} \cdot \frac{b+1}{b+c+1} + \frac{c}{b+c} \cdot \frac{b}{b+c+1} = \frac{b(b+c+1)}{(b+c)(b+c+1)} = \frac{b}{b+c}}\)
Teraz wystarczy to ładnie zapisać jako indukcja i gotowe.
PS Mam nadzieję, że nie oszukałem nigdzie
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
prawdopodobieństwo wylosowania w urnie
bo w indukcji trzeba pamietac o tych "ŚCIEŻKACH" co z zalozeniu konczyly sie CZARNĄ kula, wiec to nie bedzie tak "łatwo"