Pochodna ze wzorów

[Draken]

Witajcie!
Po 5 latach studiów humanistycznych w końcu się obroniłem i (teoretycznie) skończyłem edukację.

Ale ponieważ kocham komputery i programowanie, postanowiłem pójść na informatykę na studia inżynierskie od października.

A więc siedzę i powtarzam matematykę

Trafiłem na takie oto zadanie:

\(\displaystyle{ y= ln (x+ \sqrt{x ^{2}+1 } )}\)

I nie mam pojęcia jak to zrobić. Dopiero zaczynam powtórkę, więc się nie łamię.

Mój tok rozumowania jest taki:


\(\displaystyle{ a = x^{2} + 1

a' = (x ^{2} +1)= 2x

b= (x+a ^{ \frac{1}{2} } )
b' = [(x)'+( a^{ \frac{1}{2} } )']=1+( \frac{1}{2} a ^{ \frac{-1}{2} } )}\)

Ale dalej wychodzą mi jakieś bzdety. W odpowiedziach do tego zadania podano, że powinno wyjśc

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3} (x ^{2}+1) ^{4} }{ \sqrt{x(x-1)} }( \frac{5}{2x} - \frac{1}{2(x-1)} + \frac{8x}{x ^{2}+1 } )}\)




Gdyby ktoś był też tak dobry i pokazał mi krok po kroku jak rozwiązać również i to:


\(\displaystyle{ y=ln tg \frac{x}{2}}\)

Bo próbowałem na różne sposoby i nie wychodzi.

Z góry dzięki!!!

[Afish]

\(\displaystyle{ y = ln tg \frac{x}{2} \\
y' = \frac{1}{tg \frac{x}{2} } \cdot (tg \frac{x}{2} )' = \frac{1}{tg \frac{x}{2} } \cdot \frac{1}{cos^{2} \frac{x}{2} } \cdot ( \frac{x}{2} )' =\frac{1}{tg \frac{x}{2} } \cdot \frac{1}{2cos^{2} \frac{x}{2} } = \frac{1}{2tg \frac{x}{2} cos^{2} \frac{x}{2} }}\)

[M Ciesielski]

Może wytłumaczę ten drugi przykład:

\(\displaystyle{ y = \ln \tg \frac{x}{2}}\)

Jak widać jest to funkcja złożona (dwukrotnie). Od zewnętrznej mamy: logarytm, tangens, mnożenie \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x\right)}\).

Zasada obliczania pochodnej funkcji złożonej jest następująca:

Obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej, u nas - logarytm. Wiemy, że \(\displaystyle{ \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}}\). Problemem jest to, że w naszej funkcji pod logarytmem jeszcze coś jest, dlatego zamiast \(\displaystyle{ x}\) wpisujemy tam właśnie to coś, co jest pod logarytmem i wszystko mnożymy przez pochodną tego czegoś. Może tak będzie łatwiej:

\(\displaystyle{ \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x} \\ \left(\ln \left(\tg \frac{x}{2}\right) \right)' = \frac{1}{\tg \frac{x}{2}} \cdot \left(\tg \frac{x}{2}\right)'}\)

Dalej tak samo. Znamy pochodną \(\displaystyle{ (\tg x)'}\), ale pod tangensem jest jeszcze \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\). Mamy więc:

\(\displaystyle{ \left(\tg \frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)'}\)

Z tą ostatnią pochodną chyba sobie poradzisz, prawda? Ogólnie mamy:

\(\displaystyle{ \left( a \cdot f(x) \right)' = a \cdot \left( f(x) \right)' \\ \left(f(x)+g(x) \right)' = f'(x) + g'(x) \\ \left(f(x) \cdot g(x) \right)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\ \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x) \neq 0}\)

Podstawowe wzory znajdziesz na Wiki.

[Afish]

\(\displaystyle{ y= ln (x+ \sqrt{x ^{2}+1 } )\\
y' = \frac{1}{x+ \sqrt{x ^{2}+1 } } \cdot (x + \sqrt{x^{2} +1})' = \frac{1}{x+ \sqrt{x ^{2}+1 } } \cdot (1 + \frac{1}{2(x^{2} + 1)} \cdot (x^{2} + 1)' ) = \frac{1}{x+ \sqrt{x ^{2}+1 } } \cdot (1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2x) = \frac{ 1 + \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + 1}} }{x + \sqrt{x^{2} + 1} }}\)

[Draken]

Wielkie dzięki. Mnie wyszło dokładnie to samo, ale w odpowiedziach do zadania jest, że powinno wyjść:

\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{sinx}}\)


Więc opcje są trzy:
1. Albo obaj się mylimy a odpowiedzi są dobre;
2. Albo odpowiedzi są złe i mamy rację;
3. Albo nikt nie ma racji

Jako, że ja się czuję niepewnie ze swoimi umiejętnościami, to nie ufam temu, co mi wyszło Ale jeśli Ty masz tak samo to nie wiem...-- 23 lip 2010, o 18:48 --M. Ciesielski - wielkie dzięki za szczegółowe wyjaśnienie

Zrobiłem dokładnie tak, jak mówisz, chociaż ja ciągle jeszcze nie mam wprawy i "rozbijam sobie na dwa" - czyli najpierw wprowadzam zmienną pomocniczą, np. a, która obejmuje te dodatkowe elementy, na niej przeprowadzam operację i potem dopiero na całości. Ale zrobiłem dokładnie w ten sposób....i w odpowiedziach jest inaczej. Bug?

[M Ciesielski]

Oj, spokojnie - wymnóż to wszystko najpierw. W końcu (mianownik) \(\displaystyle{ 2 \tg \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x}\).

Wszystko się zgadza

[Draken]

Och kurcze i to jest właśnie to....

Nie widzę jeszcze pewnych rzeczy na pierwszy rzut oka - wyszło mi dokładnie tak, a przecież to właśnie jest sinx, tak jak mówisz.

Sorry za zamieszanie, muszę uważniej patrzeć, ale czego oczekiwać po człowieku po 5-u latach ogłupiającego wkuwania na pamięć ?

Jeszcze raz thx

[Draken]

Czy jest błędem rozbijanie rozwiązania na części. Czyli przykładowo jeśli jest

\(\displaystyle{ y= ln tg \frac{x}{2}}\)

to wyprowadzenie sobie osobno fragmentów funkcji złożonej w postaci zmiennych pomocniczych? Czy takie babranie się jest niepotrzebnym rozwlekaniem ?

[Afish]

Błędem to nie jest, aczkolwiek w przypadku takich prostych można pisać od razu. Chociaż w sumie jak komu wygodniej

[Draken]

Thx