Proszę o wykazanie nierówności:
\(\displaystyle{ x^\alpha - \alpha x \le 1 - \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \alpha\in (0,1)}\)
Nierówność - dowód
Nierówność - dowód
Ostatnio zmieniony 22 lip 2010, o 14:12 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy. Poprawa wiadomości - w znacznikach zamykających występują slashe w drugą stronę niż w LaTeX-u.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy. Poprawa wiadomości - w znacznikach zamykających występują slashe w drugą stronę niż w LaTeX-u.
-
magnolia91
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 19:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Kraków
- Pomógł: 6 razy
Nierówność - dowód
Jest to wniosek z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } \le 1+ \alpha x}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } = 1 + x^{ \alpha } + ... + ...}\) tu są różne elementy dodatnie
Naszą nierówność można zapisać :
\(\displaystyle{ x ^{ \alpha } + \alpha \le 1+ \alpha x}\)
Zarówno pierwszy i drugi element lewej strony naszej nierówności są mniejsze lub równe od
zidentyfikowanych składników rozwinięcia powyżej.
Stąd wniosek.
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } \le 1+ \alpha x}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } = 1 + x^{ \alpha } + ... + ...}\) tu są różne elementy dodatnie
Naszą nierówność można zapisać :
\(\displaystyle{ x ^{ \alpha } + \alpha \le 1+ \alpha x}\)
Zarówno pierwszy i drugi element lewej strony naszej nierówności są mniejsze lub równe od
zidentyfikowanych składników rozwinięcia powyżej.
Stąd wniosek.