Proszę o pomoc w przekształceniu całki tak aby dało się coś policzyć.
\(\displaystyle{ \int cos^{2}2x \ dx}\)
Stosuje podstawienie: \(\displaystyle{ \ 2x=t \\ 2 \ dx=dt}\)
Otrzymuje: \(\displaystyle{ \ \frac{1}{2} \int cos^{2}t \ dt}\)
Następnie wykorzystuje wzory:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x \\ sin^{2}x=1-cos^{2}x}\)
Przekształcam by otrzymać \(\displaystyle{ \ cos^{2}x \\}\)
\(\displaystyle{ cos2x=2cos^{2}x-1 \\ cos^{2}x= \frac{1}{2}cos2x+ \frac{1}{2}}\)
Dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \int \left( \frac{1}{2}cos2t+ \frac{1}{2}\right)dt \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \int cos2t \ dt+ \frac{1}{2} \int dt \right)= \\}\)
Tu znowu podstawienie: \(\displaystyle{ \ 2t=u \\ 2 \ dt=du}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \int cosu \ du+ \frac{1}{2} \int dt \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} sinu+ \frac{1}{2}t \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}sin2t+ \frac{1}{2}2x \right)= \frac{1}{8}sin4x+ \frac{1}{2}x+C}\)
Git?
