Granica funkcji z logarytmem naturalnym

[rosa_szczecin]

Proszę o pomoc, bo jakoś nic z tego nie mogę skapować. Może ktoś mi poleci jakąś książke, ćwiczenia żeby się tego nauczyć? Ale najpierw mam takie przykłady.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } x \cdot ctg3x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{arctgx}{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x[ln(x+1) - lnx] = x \cdot ln \frac{x+1}{x}= ln (\frac{x+1}{x}) ^{x}
= ln(1+ \frac{1}{x}) ^{x} =
ln \cdot \lim_{ x\to \infty } (1+ \frac{1}{x}) ^{x} = lne =1}\)
Ostatnie nie wiem co się z czego wzięło.

[miodzio1988]

90940.htm

trzecie: własności logarytmu , i def liczby \(\displaystyle{ e}\) , i skorzystanie z ciągłości logarymtu

Pierwsze: definicja tej funkcji trygonometrycznej

[rosa_szczecin]

Ooo, dzięki już widze co jest co w 3, ale mógłbyś mi wytłumaczyć te dwa pierwsze?

[miodzio1988]

No napisałem co trzeba zrobić. Przeczytaj to jeszcze raz

[Crizz]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} x \cdot ctg3x = \lim_{ x\to 0} \frac{x}{tg3x}=\frac{1}{3} \cdot \lim_{ x \to 0}\frac{3x}{tg3x}=\frac{1}{3}\lim_{t \to 0} \frac{t}{tgt}=\frac{1}{3} \cdot 1=\frac{1}{3}}\).

Musisz po prostu zapamiętać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{arctgx}{x}=1}\) (i analogicznie dla odwrotności tych wyrażeń).

[rosa_szczecin]

Wielkie dzięki, życie mi ratujecie!

Jeszcze może pomożecie z czymś takiem i może z jakimś wyjaśnieniem:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ln(a+x) - lna}{x}}\)

[miodzio1988]

Znowu własności logarytmu się kłaniają.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ log_ab-log_ac=log_a \frac{b}{c}}\)

[rosa_szczecin]

Czyli wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{ln \frac{a+x}{x} }{x}}\)

[Majeskas]

Tak.

[rosa_szczecin]

teraz mam skorzystać chyba z tego:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ln(1+x)}{x}=1}\)

ale nie wiem jak zmusić to do występowania w takiej postaci.

[czeslaw]

Ja bym proponował inaczej.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\ln(a+x) - \ln a}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln a(1+\frac{x}{a}) - \ln a}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{\ln a + \ln(1 + \frac{x}{a}) - \ln a}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{a \cdot \frac{x}{a}} = \frac{1}{a}}\)

A nie chciało mi wyjść, bo Majeskas napisał że jest ok, a wcale nie było. Tam powinno być \(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{a+x}{\red{a}}}{x}}\), wtedy byłoby dobrze.

[Majeskas]

Sorry. Moje niedopatrzenie.