Całka oznaczona

[luka52]

Imho ciekawy przykład z piłkarskim podtekstem :

\(\displaystyle{ \int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x}\)

Miłego rozwiązywania .

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2012}=1 - x^{2010}}\)
\(\displaystyle{ x^{2010}= 1- t ^{2012}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[2010]{1- t ^{2012}}=(1- t ^{2012}) ^{ \frac{1}{2010} }}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{1}{2010} (1- t ^{2012}) ^{- \frac{2009}{2010} } \cdot 2012 t ^{2011}}\)

Stałe pomijam, bo na razie całka mnie interesuje
\(\displaystyle{ -\int_0^1 \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}dx =- \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)

I dalej przez części. Miki mówi,że jak drugą całkę się tak samo potraktuje to ładnie się skraca. Kto mu wierzy?

Do bani ogólnie podejście. teraz szeregi Później sprzężenie

\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)

\(\displaystyle{ u= 1- t^{2012}}\)

\(\displaystyle{ t^{2012} = 1-u}\)

\(\displaystyle{ 2012t^{2011}dt=2012t^{2011}dt =-du}\)

\(\displaystyle{ t ^{2012}dt= t \cdot t ^{2011}dt=- t \cdot \frac{1}{2012} du= - \sqrt[2012]{1-u} \cdot \frac{1}{2012}}\)

\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt=- \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)

Doliczysz Miki?


Komentarz do tego posta od miki999

Ukryta treść:    

Kto mu wierzy?

A który frajer sprawdzał?

[luka52]

(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)

Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.

[miki999]

Przecież wystarczyłoby "na chama" to wymnożyć i by coś wyszło. Problem w tym jak to obejść. Czyli w przypadku tej całki i górnej granicy się sprowadzi do obliczenia pewnej specyficznej sumy.

[Nakahed90]

(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)

Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.

Wg mnie się wyraża, bo 2012 jest liczbą całkowitą.

[luka52]

Nakahed90, oczywiście - coś mi się pomieszało, heh

Jeżeli ktoś jest jeszcze zainteresowany problemem, to podpowiem, że można rozważyć ćwiartkę pola figury opisanej jako \(\displaystyle{ x^{2010} + y^{2012} \le 1}\) zamiast liczyć jakieś straszne całki .