\(\displaystyle{ \int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x}\)
Miłego rozwiązywania .Całka oznaczona
Całka oznaczona
\(\displaystyle{ \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2012}=1 - x^{2010}}\)
\(\displaystyle{ x^{2010}= 1- t ^{2012}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[2010]{1- t ^{2012}}=(1- t ^{2012}) ^{ \frac{1}{2010} }}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{1}{2010} (1- t ^{2012}) ^{- \frac{2009}{2010} } \cdot 2012 t ^{2011}}\)
Stałe pomijam, bo na razie całka mnie interesuje
\(\displaystyle{ -\int_0^1 \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}dx =- \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)
I dalej przez części. Miki mówi,że jak drugą całkę się tak samo potraktuje to ładnie się skraca. Kto mu wierzy?
Do bani ogólnie podejście. teraz szeregi Później sprzężenie
\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)
\(\displaystyle{ u= 1- t^{2012}}\)
\(\displaystyle{ t^{2012} = 1-u}\)
\(\displaystyle{ 2012t^{2011}dt=2012t^{2011}dt =-du}\)
\(\displaystyle{ t ^{2012}dt= t \cdot t ^{2011}dt=- t \cdot \frac{1}{2012} du= - \sqrt[2012]{1-u} \cdot \frac{1}{2012}}\)
\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt=- \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
Doliczysz Miki?
Komentarz do tego posta od miki999
\(\displaystyle{ t ^{2012}=1 - x^{2010}}\)
\(\displaystyle{ x^{2010}= 1- t ^{2012}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[2010]{1- t ^{2012}}=(1- t ^{2012}) ^{ \frac{1}{2010} }}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{1}{2010} (1- t ^{2012}) ^{- \frac{2009}{2010} } \cdot 2012 t ^{2011}}\)
Stałe pomijam, bo na razie całka mnie interesuje
\(\displaystyle{ -\int_0^1 \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}dx =- \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)
I dalej przez części. Miki mówi,że jak drugą całkę się tak samo potraktuje to ładnie się skraca. Kto mu wierzy?
Do bani ogólnie podejście. teraz szeregi Później sprzężenie
\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)
\(\displaystyle{ u= 1- t^{2012}}\)
\(\displaystyle{ t^{2012} = 1-u}\)
\(\displaystyle{ 2012t^{2011}dt=2012t^{2011}dt =-du}\)
\(\displaystyle{ t ^{2012}dt= t \cdot t ^{2011}dt=- t \cdot \frac{1}{2012} du= - \sqrt[2012]{1-u} \cdot \frac{1}{2012}}\)
\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt=- \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
Doliczysz Miki?
Komentarz do tego posta od miki999
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 12 lip 2010, o 22:52 przez miodzio1988, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka oznaczona
Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.miodzio1988 pisze:(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Całka oznaczona
Przecież wystarczyłoby "na chama" to wymnożyć i by coś wyszło. Problem w tym jak to obejść. Czyli w przypadku tej całki i górnej granicy się sprowadzi do obliczenia pewnej specyficznej sumy.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Całka oznaczona
luka52 pisze:Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.miodzio1988 pisze:(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
Wg mnie się wyraża, bo 2012 jest liczbą całkowitą.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka oznaczona
Nakahed90, oczywiście - coś mi się pomieszało, heh
Jeżeli ktoś jest jeszcze zainteresowany problemem, to podpowiem, że można rozważyć ćwiartkę pola figury opisanej jako \(\displaystyle{ x^{2010} + y^{2012} \le 1}\) zamiast liczyć jakieś straszne całki .
Jeżeli ktoś jest jeszcze zainteresowany problemem, to podpowiem, że można rozważyć ćwiartkę pola figury opisanej jako \(\displaystyle{ x^{2010} + y^{2012} \le 1}\) zamiast liczyć jakieś straszne całki .