Udowodnić twierdzenie (moduły, przedłużenie homomorfizmu)

[qwack]

Witam, potrzebuje udowodnić następujące twierdzenie (dowód ma być wprost, bo nie wprost udowodniłem a prof chce wprost):
Zbiór \(\displaystyle{ {{x_{t}}}_ {t \in T} \subset M}\) jest bazą R-modułu M wtedy i tylko wtedy gdy dowolne odwzorowanie \(\displaystyle{ h:B \rightarrow N}\) o wartościach w R-module N może być jednoznacznie przedłużone do R-homomorfizmu \(\displaystyle{ g:M \rightarrow N}\)

[max]

Jedna implikacja jest bezpośrednia. Dla dowodu drugiej, mówiącej, że z warunku w zadaniu wynika, iż \(\displaystyle{ M}\) jest wolny, można pokazać, że \(\displaystyle{ M \cong \bigoplus_{t\in T}R}\)

[qwack]

tzn. mógłbyś to rozpisać i co za suma ?

[max]

Ta suma to suma prosta rodziny modułów izomorficznych z \(\displaystyle{ R}\) indeksowanej elementami zbioru \(\displaystyle{ T}\).
Z którą implikacją masz problem?

[qwack]

Coś nie tak, z tego co profesor mi to nakreślił szkicowo to mam:
1. Pokazać jedyność \(\displaystyle{ g}\)
2. Sprawdzić poprawność \(\displaystyle{ g}\) i pokazać, że jest to homomorfizm.
3. Pokazać, że \(\displaystyle{ g|B=h}\).
A ty mi z wyskakujesz z \(\displaystyle{ R}\) izomorficznym z \(\displaystyle{ M}\) a jeśli już to \(\displaystyle{ M \cong B}\) bo \(\displaystyle{ B}\) jest bazą modułu wolnego \(\displaystyle{ M}\).

[max]

Przepraszam za niedoskonałość moich umiejętności przekazywania informacji.

Te trzy punkty, które wypisałeś to szkic dowodu implikacji mówiącej, że jeśli moduł jest wolny, to zachodzi warunek z zadania.
Wystarczy zadać homomorfizm \(\displaystyle{ g}\) jako \(\displaystyle{ g\left(\sum_{t\in T}r_{t}x_{t}\right) =\sum_{t\in T} r_{t}h(x_{t})}\) (gdzie dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ t\in T}\) jest \(\displaystyle{ r_{t} = 0}\)) i te trzy warunki sprawdza się niemal automatycznie.

To o czym ja pisałem, to implikacja w drugą stronę. Przy czym wcale nie napisałem, że \(\displaystyle{ M}\) jest izomorficzny z \(\displaystyle{ R}\), tylko z sumą prostą modułów \(\displaystyle{ R}\) indeksowaną elementami rodziny \(\displaystyle{ T}\). Mogłem to zapisać inaczej:
\(\displaystyle{ M\cong \bigoplus_{t\in T}Rx_{t}}\) oraz \(\displaystyle{ Rx_{t}\cong R}\).
Zapis \(\displaystyle{ M\cong B}\) pozbawiony jest sensu, bowiem \(\displaystyle{ B}\) nie jest modułem.