[Planimetria] Nierówność w czworokącie.

[piotrek9299]

Na płaszczyźnie dane są cztery dowolne punkty A,B,C,D. Niech punkty E i F będą środkami odcinków AC i BD. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ EF \ge \left| \frac{AB-CD}{2} \right|}\).

Doszedłem do wnioski, że dobrze by było znaleźć odcinki o długościach AB/2 i CD/2. Oczywiście są to odcinki łączące środki boków trójkątów ABS i CDS, gdzie S to punkt przecięcia przekątnych tego czworokąta. Dalej niestety brak pomysłów.

[timon92]

Doszedłem do wnioski, że dobrze by było znaleźć odcinki o długościach AB/2 i CD/2

Dobrze kombinujesz.
hint: niech G będzie środkiem odcinka BC

[piotrek9299]

Żeby nie zakładać kolejnego tematu, proszę o pomoc z jeszcze jednym zadaniem:

Na płaszczyźnie dane są odcinki \(\displaystyle{ A_1B_1}\) i \(\displaystyle{ A_2B_2}\) równej długości. Na odcinku \(\displaystyle{ A_1B_1}\) obrano punkt \(\displaystyle{ C_1}\), a na odcinku \(\displaystyle{ A_2B_2}\) punkt \(\displaystyle{ C_2}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ A_1C_1=A_2C_2}\). Wykaż, że środek odcinki C_1C_2 leży na odcinku łączącym środek odcinka \(\displaystyle{ A_1A_2}\) ze środkiem odcinka \(\displaystyle{ B_1B_2}\).

Próbowałem zacząć jakoś tak, że punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ A_1B_1}\) i \(\displaystyle{ A_2B_2}\) to X.
Obierzmy taki punkt Y, żeby czworokąt \(\displaystyle{ XB_2YB_1}\) był równoległobokiem. Wówczas środek odcinka \(\displaystyle{ B_1B_2}\) - \(\displaystyle{ B}\) leży na przekątnej tego równoległoboku. I teraz próbuję pokazać, że środki odcinków \(\displaystyle{ A_1A_2}\) - A i \(\displaystyle{ C_1C_2}\) - \(\displaystyle{ C}\) również leżą na tej przekątnej, ale coś mi nie wychodzi :[

[timon92]

dość szybko przelicza się to na wektorach

[piotrek9299]

hmm, to znaczy?
Mógłbyś przedstawić jakiś zarys, albo ogólną ideę?

[timon92]

Niech \(\displaystyle{ A,B,C}\) będą środkami odpowiednich odcinków.

Mamy
\(\displaystyle{ \frac{ \vec{ A_1C_1}}{\vec{A_1B_1}} = \frac{\vec{ A_2C_2}}{\vec{A_2B_2}} = \alpha \quad (\star)}\)

Mamy także \(\displaystyle{ \vec{AC} = \frac{\vec{A_1C_1}+\vec{A_2C_2}}{2}}\), analogicznie wyrażamy \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i korzystając z \(\displaystyle{ (\star)}\) pokazujemy, że \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}}\), skąd wynika teza.

No dobra, nie było to takie szybkie

[binaj]

Nie znam się na masach, ale chyba tak to idzie:

Niech \(\displaystyle{ A_1C_1=A_2C_2=x}\), \(\displaystyle{ B_1C_1=B_2C_2=y}\)
umieśćmy w punktach\(\displaystyle{ A_1,A_2}\) masy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)a w \(\displaystyle{ B_1,B_2 - \frac{1}{y}}\), wówczas dla \(\displaystyle{ i=1,2}\)środkiem układu \(\displaystyle{ A_iB_i}\) jest \(\displaystyle{ C_i}\), więc środek masy całego układu leży na\(\displaystyle{ C_1C_2}\), z drugiej strony środkiem masy układów (A_1,A_2) oraz (B_1,B_2) są ich środki odcinków, zatem środek całej masy leży na odcinku łączącym środek odcinka A_1A_2 ze środkiem odcinka B_1B_2, stąd wynika teza

[Elvis]

piotrek9299, twoje zadanie jest szczególnym przypadkiem następującego:
Dane są dwie figury przystające takie, że istnieje izometria nieparzysta przekształcająca jedną na drugą. Wtedy środki odcinków łączących odpowiednie punkty tych dwóch figur są współliniowe.

Dowód: Izometrie nieparzyste to symetrie z poślizgiem (ewentualnie zerowym). Środek odcinka łączącego punkt z jego obrazem leży na osi symetrii, co kończy dowód.

W naszym przypadku istnieją dwie izometrie, przy czym jedna nieparzysta.