równanie różniczkowe rzędu 2 - problem

[qaz]

Mam następujące równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ yy''-y'^2=y^2\ln{y}}\)
podstawiam:
\(\displaystyle{ y'=u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=\frac{du}{dy}\cdot u(y)}\)
stąd dostaję:
\(\displaystyle{ yu'u-u^2=y^2\ln{y}}\)
\(\displaystyle{ u'-\frac{u}{y}=\frac{y\ln{y}}{u}}\)
teraz podstawiam: \(\displaystyle{ z=u^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dy}=2uu'}\)
i jest:
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dy}-\frac{2}{y}z=2y\ln{y}}\)
teraz metoda uzmienniania stałej i otrzymuję:
\(\displaystyle{ z=(\ln^2{y}+C_2)y^2}\)
czyli jest
\(\displaystyle{ u^2=(\ln^2{y}+C_2)y^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ u=\pm \sqrt{(\ln^2{y}+C_2)y^2}}\)
Nie wiem czy do tej pory nie mam błędu, ale tu już mam problem.
jest: \(\displaystyle{ y'=\pm \sqrt{(\ln^2{y}+C_2)y^2}}\)
wypadało by wyciągnąć \(\displaystyle{ y}\) spod pierwiastka i podstawić nową zmienną za \(\displaystyle{ \ln{y}}\), jednak \(\displaystyle{ \sqrt{y^2}=|y|}\) i już się gubię na tych plusach i minusach. Pomoże ktoś

[nemezis100807]

\(\displaystyle{ u=\pm \sqrt{(\ln^2{y}+C_2)y^2}}\)
Nie wiem czy do tej pory nie mam błędu, ale tu już mam problem.
jest: \(\displaystyle{ y'=\pm \sqrt{(\ln^2{y}+C_2)y^2}}\)
wypadało by wyciągnąć \(\displaystyle{ y}\) spod pierwiastka i podstawić nową zmienną za \(\displaystyle{ \ln{y}}\), jednak \(\displaystyle{ \sqrt{y^2}=|y|}\) i już się gubię na tych plusach i minusach. Pomoże ktoś

\(\displaystyle{ u=C\sqrt{(\ln^2{y}+C_2)y^2}=Cy\sqrt{\ln^2{y}+C_2},\quad C\in\{-1,1\}}\)