Równość funkcji

[Ramzev]

Dane są funkcje o wzorach: \(\displaystyle{ f(x)=x^2+1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=2^x}\).

Pokazać, że równość \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) jest spełniona przez co najwyżej trzy liczby rzeczywiste.

Dwa rozwiązania łatwo złapać z wykresów. Są to 0 i 1. Ale jak pokazać, że istnieje jeszcze jedno i zarazem ostatnie rozwiązanie (niewymierne)?

[Nakahed90]

Z twierdzenia Darboux da się to pokazać.

[Ramzev]

Ok. Coś wymyśliłem, ale prosiłbym o sprawdzenie.

Korzystając z warunku \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) konstruuję funkcję:

\(\displaystyle{ h(x)=x^2+1-2^x}\)

Muszę teraz pokazać, że dana funkcja ma trzy miejsca zerowe. Dwa już znalazłem, pozostało jedno.

Rozpatruję przedział \(\displaystyle{ [2;5]}\). Funkcja \(\displaystyle{ h(x)}\) przyjmuje na jego krańcach wartości różnych znaków:

\(\displaystyle{ h(2)=1}\)

\(\displaystyle{ h(5)=-6}\)

Na mocy twierdzenia Darboux stwierdzam, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c}\) należący do rozpatrywanego przedziału, że \(\displaystyle{ f(c)=0}\).

Dowód ten pokazuje, że istnieją trzy rozwiązania, ale nie pokazuje, że nie ma ich więcej. Chyba, że można to zrobić bardziej ogólnie. Jeśli tak, to proszę o wskazówkę.

[miodzio1988]

Jest super.

[Nakahed90]

Jeżeli chcesz pokazać, że istnieją dokładnie trzy miejsca zerowe h(x)-to musisz zajać się monotonicznością tej funkcji, pokazać, ze istnieją dwa ekstrema lokalne i że granice w nieskończoności sią nieskończonościami.

[Ramzev]

Oj, to chyba nie będzie już takie proste. Tym bardziej, że zadanie jest z poziomu liceum.

Grunt, że udało mi się pokazać istnienie trzech rozwiązań.

Dziękuję bardzo za pomoc.