Reszta z dzielenia

[conseil]

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u, nie wykonując dzielenia:
\(\displaystyle{ w(x) = x^{5} -x^{3} + x^{2} -1}\)
\(\displaystyle{ u(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\)
Przyda się twierdzenia Bezouta, tyle że nie wiem jak to wykorzystać.

[lukasz1804]

Można też rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ w}\) na czynniki (niekoniecznie do postaci iloczynowej - to w tym przypadku niepotrzebne): \(\displaystyle{ w(x)=x^3(x^2-1)+(x^2-1)=(x^2-1)(x^3+1)=(x-1)(x+1)(x^3+1)}\).
Teraz widać, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\) jest równa iloczynowi wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x+2}\), tj. jest wielomianem postaci \(\displaystyle{ [(-2)^3+1](x-1)(x+1)=-7x^2+7}\).

bakala12, możesz wyjaśnić Twoje rozumowanie? Wydaje się, że nie jest ono całkiem poprawne - reszta z dzielenia, której szukamy musi być wielomianem stopnia drugiego, a nie iloczynem trzech reszt z dzielenia wielomianu przez dwumian (który de facto jest liczbą, czyli wielomianem stopnia zerowego).

[bakala12]

lukasz1804, masz rację mój wielki błąd.

[conseil]

Wynik się zgadza, tylko nie rozumiem, jak ty to zrobiłeś.

Teraz widać, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\) jest równa iloczynowi wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x+2}\), tj. jest wielomianem postaci

Wielomian \(\displaystyle{ w}\) to:
\(\displaystyle{ w(x) = (x-1)(x+1)(x^{3} +1)}\)
Czyli jeżeli dzielimy, to zapisujemy go w takiej postaci:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^{3} +1) : (x-1)(x+1)(x+2) + r}\)
Ty to skracasz?
\(\displaystyle{ (x^{3} +1) : (x+2) + r}\)
Dalej to już nie wiem jak...

[bakala12]

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{U(x)} = \frac{(x-1)(x+1)(x ^{3} +1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}= \frac{x ^{3}+1 }{x+2}}\), wystarczy wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ x ^{3}+1}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) i pomnożyć ją przez (x-1)(x+1)

A to można zrobić nie wykonując dzielenia na podstawie bezpośredniego wniosku z tw. Bezouta:
"Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-c wynosi W(c)"
\(\displaystyle{ (-2)^{3}+1=-7}\)

Czyli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez U(x) wynosi:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \cdot (-7)=(x ^{2}-1) \cdot (-7)=-7x ^{2}+7}\)

Rozjaśniło się?

[bezrobotny]

\(\displaystyle{ R(x)= A\cdot x^2 + B\cdot x + C \\ \\

\begin{cases}A+B+C = R(1) = W(1) = 0\\
A-B+C = R(-1)=W(-1)=0\\
4\cdot A - 2\cdot B + C = R(-2)=W(-2)= -21\end{cases}}\)

Rozwiazujemy uklad rownan:

\(\displaystyle{ \begin{cases}B=0\\
A=-7\\
C=7 \end{cases}}\)
Odp: \(\displaystyle{ R(x)= -7\cdot x^2 + 7}\)