Liczby pierwsze

[alfa01]

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, jakiś starożytny wymyślił sobie jakąś teorię która to potwierdza.

Myślę że to poprawne, i tak istotnie jest. Ale:

Jeżeli weźmiemy dowolną liczbę z ciągu geometrycznego, którego iloraz i a1 są równe 10. Czyli 10,100,1000,10000 itd itd. I umieścimy ją na osi liczbowej.

To stosunek danego elementu a, do liczby liczb pierwszych znajdujących się za elementem a na osi, rośnie im większa jest a.

a1 = 10. Umieszczamy na osi, za 10 mamy 4 liczby pierwsze.

10/4= 2,5

Nasz współczynnik wynosi 2,5. Liczmy dla kolejnych liczb.

100/25 = 4
1000/189 = ~5,3
10000/1229 = ~8,1

Oznacza to, że stosunek liczby liczb pierwszych na osi za "a", maleje względem "a".

Nasz współczynnik najpierw galopuje, z 4 na 5,3 potem z 5,3 z 8,1 ale ten galop zwalnia.

Współczynnik dla "a" 10 000 000 000 000 minimalnie różni się od 100 000 000 000 000 ale zawsze jest większy od niego.

Oznacza to że kolejne liczby pierwsze statystycznie trafiają się coraz rzadziej (czyt: ich liczba przyrasta coraz wolniej, względem geometrycznie rosnącego "a" które zawsze przemnaża się przez 10).

Ten współczynnik w nieskończoność rośnie, czyli jego odwrotność maleje (ilość liczb pierwszych w stosunku do danego "a" z ciągu maleje).

Wyobraźmy sobie teraz wykres. Oś X to oś liczbowa, zaznaczymy na niej punkt "a" np: "a2" czyli 100. Oś Y wykresu to liczba liczb pierwszych. Dla zaznaczonego "100" wynosi ona "25". Kreślimy linię od osi Y do X, od 25 na Y do 100 na X. Linia jest dość stroma, oczywiście nie tak stroma jak dla 4 i 10(a1).

i teraz:

*werble*

1) Czy prawdziwym będzie stwierdzenie że w związku wyżej wymienionym, linia wykresu robi się coraz mniej stroma im wyższe rozpatrujemy "a"? Czyli krótko mówiąc funkcja wraz z coraz większym rozpatrywanym na wykresie "a" - dąży do stałości (lini prostej) ale nigdy jej nie osiąga?

2) Czy też istnieją przesłanki, aby myśleć, iż nabiera stałości w końcu. Czyli, czy istnieją przesłanki do tego by myśleć że nasz współczynnik będzie taki sam dla dwóch jakichś elementów naszego ciągu 10,100,1000 itd itd itd.

Co myślicie? Ja uważam że ten współczynnik ciągle rośnie, każe mi tak myśleć to że te liczby pierwsze trafiają się coraz rzadziej w nieskończoność - wynika to jak dla mnie z tego że przecież wielokrotność dowolnej liczby N nigdy nie będzie liczbą pierwszą. Czyli ilość tych luk na liczby pierwsze na osi robi się coraz mniejsza, jadąc w prawo przejeżdżamy bowiem obok coraz większych liczb -

a im większa liczba naturalna, tym większe szanse na to że jest wielokrotnością innej liczby (również pierwszej) czyli zwiększa to szansę na to że ta liczba pierwszą nie jest.

Opowiadał bym się więc bardziej za opcją "1". A wy co o tym myślicie? Nie mam szerokiej wiedzy, czy jakiś uczony się brał za coś podobnego? Albo czy wy (jeśliście nie uczeni) braliście się za podobne osądy?

***

Jeżeli prawdziwą jest opcja pierwsza. To ciekaw też jestem geometrii wzrostu współczynnika. Dla mnie jest to geometria zmienna nie stała, dlatego bo analizując elementy 10,100,1000,10000 żadnej stałości nie zauważyłem.

Pytanie teraz czy istnieją jakieś krótkie okresy stałości geometrii podczas wzrostu współczynnika i czy częstość występowania tych okresów stałości też cechuje jakaś stała bądź zmienna geometria.

ale żeby odpowiedzieć na te dwa pytania trzeba by było mieć dostęp do gigantycznej statystyki, albo dobrze napisany program który i tak by długo się z tym motał.

[silvaran]

W Teorii Liczb autorstwa Sierpińskiego (do znalezienia chyba nawet jako ebook na jakieś stronie) jest trochę na temat liczb pierwszych. Między innymi:
Jeśli \(\displaystyle{ x \ge 48}\) to między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ \frac{9}{8} x}\) leży co najmniej jedna liczba pierwsza.

[max]

1) Zobacz .
2) Nie jest tak. Wynika to z wyniku cytowanego post wyżej, albo z .

[alfa01]

Dzięki za odpowiedzi. Wysnułem takie wnioski analizując tą liczebność ale jak widać to mylne.

Co do Czebyszewa dowód jest dla mnie mglisty ale jeżeli udowodniono że:

Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

to wszystko jasne.

Jeśli x ge 48 to między x a frac{9}{8} x leży co najmniej jedna liczba pierwsza.

ale to hipoteza czy również udowodniono.

No nieważne rozwiałem swoje wątpliwości, widać to jest bardziej chaotyczne niż mi się zdawało. Chociaż... potem mówimy o wielkich liczbach, a to nadal co najmniej jedna pierwsza między n i 2n - ciekaw jestem dokąd teoria zmniejszającej się liczebności jest prawdziwa - póki co wiadomo że dla, 10,100,1000 i 10 000 ;/

No nic, dzięki że chciało wam się to przeczytać.

[xanowron]

Co do Czebyszewa dowód jest dla mnie mglisty ale jeżeli udowodniono że:

Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

to wszystko jasne.

Jeśli x ge 48 to między x a frac{9}{8} x leży co najmniej jedna liczba pierwsza.

ale to hipoteza czy również udowodniono.

Tw. Czebyszewa jest udowodnione, są również z tego co wiem jego wzmocnienia zatem to z Teorii Liczb W. Sierpińskiego zapewne też jest ok.

[max]

No nieważne rozwiałem swoje wątpliwości, widać to jest bardziej chaotyczne niż mi się zdawało. Chociaż... potem mówimy o wielkich liczbach, a to nadal co najmniej jedna pierwsza między n i 2n - ciekaw jestem dokąd teoria zmniejszającej się liczebności jest prawdziwa - póki co wiadomo że dla, 10,100,1000 i 10 000 ;/

Myślę, że dokładnej odpowiedzi udziela twierdzenie o liczbach pierwszych, które mówi, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [0,x]}\) jest w przybliżeniu \(\displaystyle{ x/\ln x}\).
(formalnie: \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\frac{\pi (x)}{x/\ln x} = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ \pi (x)}\) oznacza liczbę liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [0,x]}\))

Innymi słowy, gdybyś zamiast stosunku \(\displaystyle{ 10^{n}/\pi(n),}\) badał stosunek \(\displaystyle{ \frac{10^{n}}{\pi(n)n\ln 10}}\) czy też ogólniej \(\displaystyle{ \frac{n}{\pi(n)\ln n}}\) to zaobserwowałbyś, że ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\) byłby on coraz bliższy 1.

[silvaran]

[...]

Jeśli \(\displaystyle{ x \ge 48}\) to między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ \frac{9}{8} x}\) leży co najmniej jedna liczba pierwsza.

ale to hipoteza czy również udowodniono.
[...]

Cytując z książki:
Breusch udowodnił dwa następujące uogólnienia postulatu Bertranda
a) (jak napisałem wyżej)
b) jeżeli \(\displaystyle{ x \ge 7}\) to między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ 2x}\) leży co najmniej jedna liczba pierwsza postaci 3k+1, 3k+2, 4k+1 4k+3

Przypis do tego:
R. Breusch, Mathematische Zeitschrify 34 (1932) strony 505-526