Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującej całki: (czy da się ją rozwiązać stosując tradycyjne metody całkowania przez części podstawianie, podstawieniami Eulera itp. ?):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \sqrt{x^6+64} }{x^3}}\)
PS. Czy przypadkiem nie jest to całka eliptyczna?
Pozdrawiam
Całka nieoznaczona
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1675
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Całka nieoznaczona
Z wolframu korzystałem już wcześniej, jednak nie satysfakcjonuje mnie sam wynik, zależy mi na sposobie dojścia i stwierdzeniu czy jest to całka eliptyczna czy nie.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6954
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Całka nieoznaczona
Całkujesz dwa razy przez części (raz całkujesz na boku podstawieniem Eulera i otrzymujesz)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{x^6+64} }{x^3} \mbox{d}x }=- \frac{1}{2x^2} \sqrt{x^6+64}+ \frac{1}{2} \int{ \frac{3x^3}{ \sqrt{x^6+64} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{x^6+64} }{x^3} \mbox{d}x }=- \frac{1}{2x^2} \sqrt{x^6+64}+ \frac{1}{2}x\ln{ \left|x^3+ \sqrt{x^6+64} \right| } - \frac{1}{2}\int{\ln{ \left|x^3+ \sqrt{x^6+64} \right| } \mbox{d}x }}\)
Ta ostatnia całka jest najprawdopodobniej nieelementarna
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{x^6+64} }{x^3} \mbox{d}x }=- \frac{1}{2x^2} \sqrt{x^6+64}+ \frac{1}{2} \int{ \frac{3x^3}{ \sqrt{x^6+64} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{x^6+64} }{x^3} \mbox{d}x }=- \frac{1}{2x^2} \sqrt{x^6+64}+ \frac{1}{2}x\ln{ \left|x^3+ \sqrt{x^6+64} \right| } - \frac{1}{2}\int{\ln{ \left|x^3+ \sqrt{x^6+64} \right| } \mbox{d}x }}\)
Ta ostatnia całka jest najprawdopodobniej nieelementarna
-
veldrim
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 29 sie 2008, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Całka nieoznaczona
Można od razu uzasadnić, że jest to całka nieelementarna powołując się na tw. Czebyszewa o całkowaniu różniczki dwumiennej. Żaden z trzech przypadków nie jest spełniony, więc tej całki nie da się wyrazić przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.
Jak się uprzeć (to znaczy chcesz zobaczyć wynik - funkcję pierwotną), możesz rozwinąć funkcję podcałkową w szereg i scałkować wyraz po wyrazie. Trzeba mieć tylko nadzieje, że uda nam się to ładnie zwinąć w sumę.
A wracając do twierdzenia Czebyszewa, może ktoś wie gdzie w internecie jest dowód, albo wie w jakiej pozycji książkowej tego twierdzenia szukać? Bo czuję, że jestem za cienki aby takie coś udowodnić, albo po prostu jest to łatwe, a ja nie widzę czegoś istotnego.
Jak się uprzeć (to znaczy chcesz zobaczyć wynik - funkcję pierwotną), możesz rozwinąć funkcję podcałkową w szereg i scałkować wyraz po wyrazie. Trzeba mieć tylko nadzieje, że uda nam się to ładnie zwinąć w sumę.
A wracając do twierdzenia Czebyszewa, może ktoś wie gdzie w internecie jest dowód, albo wie w jakiej pozycji książkowej tego twierdzenia szukać? Bo czuję, że jestem za cienki aby takie coś udowodnić, albo po prostu jest to łatwe, a ja nie widzę czegoś istotnego.