Całka po krzywej

[knopersik14]

Całka \(\displaystyle{ \int_{L}( \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }+z)dl}\) po krzywej \(\displaystyle{ L={(x,y,z):x ^{2}+y ^{2}=9 \wedge z=1}}\)wynosi. Czy mógłby ktoś to rozpisać?

[M Ciesielski]

Umiesz okrąg sparametryzować?

Jeśli już to zrobisz, to wszystko wstawiasz do wzoru:

\(\displaystyle{ \int_L f(x,y,z) \mbox{d}l = \int\limits_{t_0}^{t_1} f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \mbox{d}t}\)

[knopersik14]

Aha i wtedy zamieniam na całkę potrójną z funkcji którą rozpisałeś?

[M Ciesielski]

To nie jest całka potrójna! Funkcja \(\displaystyle{ f(x(t), y(t), z(t))}\) jest już w praktyce funkcją jednej zmiennej \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x(t) = 3 \cos t \\ y(t) = 3 \sin t \\ z(t) = 1 \end{cases}}\)

Pochodne liczysz, wstawiasz i zwykła całka pojedyncza.

[knopersik14]

Aha ok już łąpię dzięki.