Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 »

Wlasnie przygotowuje sie do egzaminu z teorii z analizy, i mam problem z paroma pytaniami, z gory dziekuje za pomoc
1.Jaka jest zależność między istnieniem pochodnej funkcji wielu zmiennych, a istnieniem pochodnych cząstkowych? Kiedy istnienie pochodnych cząstkowych pociąga za sobą istnienie pochodnej?
2.Analityczna definicja funkcji sin i cos oraz ich własności (w tym analityczna definicja liczby pi)

w drugim pytaniu znalazlem definicje funkcji sin i cos ale nie znam ich wlasnosci
Jeszcze raz z gory dziekuje.
szw1710

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 »

ad 1. Istnienie pochodnej pociąga istnienie pochodnych cząstkowych. Z istnienia pochodnych cząstkowych istnienie pochodnej nie wynika. Nie wynika nawet ciągłość. Jest to zachowanie zupełnie inne niż dla funkcji jednej zmiennej. Jesli dodatkowo założymy ciągłość pochodnych cząstkowych, to stąd już wynika różniczkowalność, tj. istnienie pochodnej. Sztandarowy przykład to funkcja

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\ne(0,0)}\), \(\displaystyle{ f(0,0)=0.}\)

Ma ona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) obie pochodne cząstkowe (nawet wszystkie pochodne kierunkowe), ale nie jest ciągła, więc tym bardziej nie ma pochodnej (w sensie Frecheta).

ad 2. To przez szeregi potęgowe. Rozwiń sinusa i cosinusa w szereg Maclaurina, to dostaniesz co trzeba.
beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 »

Wielkie dzieki za pomoc a co do tego drugiego
rozwinalem tak :
\(\displaystyle{ sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - ...}\)
\(\displaystyle{ cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...}\)
I te wlasnosci to sa takie ze dla jednych sa parzyste a dla drugich nie parzyste? albo ze na przemian znak sie zmienia? Przepraszam mozliwe ze jakies glupoty pisze z mojej nie wiedzy ;d
szw1710

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 »

No chyba nie o to chodzi. To widać gołym okiem. Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów. Tak np. wyobrażałbym sobie odpowiedź na pytanie.
beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 »

A teraz to rozumiem, jeszcze raz dziekuje bardzo mi to pomogło.
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: Ein »

szw1710 pisze:Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów..
Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...
szw1710

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 »

Ein pisze:Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...
To się samo rozumie
ODPOWIEDZ