Wlasnie przygotowuje sie do egzaminu z teorii z analizy, i mam problem z paroma pytaniami, z gory dziekuje za pomoc
1.Jaka jest zależność między istnieniem pochodnej funkcji wielu zmiennych, a istnieniem pochodnych cząstkowych? Kiedy istnienie pochodnych cząstkowych pociąga za sobą istnienie pochodnej?
2.Analityczna definicja funkcji sin i cos oraz ich własności (w tym analityczna definicja liczby pi)
w drugim pytaniu znalazlem definicje funkcji sin i cos ale nie znam ich wlasnosci
Jeszcze raz z gory dziekuje.
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
ad 1. Istnienie pochodnej pociąga istnienie pochodnych cząstkowych. Z istnienia pochodnych cząstkowych istnienie pochodnej nie wynika. Nie wynika nawet ciągłość. Jest to zachowanie zupełnie inne niż dla funkcji jednej zmiennej. Jesli dodatkowo założymy ciągłość pochodnych cząstkowych, to stąd już wynika różniczkowalność, tj. istnienie pochodnej. Sztandarowy przykład to funkcja
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\ne(0,0)}\), \(\displaystyle{ f(0,0)=0.}\)
Ma ona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) obie pochodne cząstkowe (nawet wszystkie pochodne kierunkowe), ale nie jest ciągła, więc tym bardziej nie ma pochodnej (w sensie Frecheta).
ad 2. To przez szeregi potęgowe. Rozwiń sinusa i cosinusa w szereg Maclaurina, to dostaniesz co trzeba.
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\ne(0,0)}\), \(\displaystyle{ f(0,0)=0.}\)
Ma ona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) obie pochodne cząstkowe (nawet wszystkie pochodne kierunkowe), ale nie jest ciągła, więc tym bardziej nie ma pochodnej (w sensie Frecheta).
ad 2. To przez szeregi potęgowe. Rozwiń sinusa i cosinusa w szereg Maclaurina, to dostaniesz co trzeba.
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
Wielkie dzieki za pomoc a co do tego drugiego
rozwinalem tak :
\(\displaystyle{ sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - ...}\)
\(\displaystyle{ cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...}\)
I te wlasnosci to sa takie ze dla jednych sa parzyste a dla drugich nie parzyste? albo ze na przemian znak sie zmienia? Przepraszam mozliwe ze jakies glupoty pisze z mojej nie wiedzy ;d
rozwinalem tak :
\(\displaystyle{ sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - ...}\)
\(\displaystyle{ cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...}\)
I te wlasnosci to sa takie ze dla jednych sa parzyste a dla drugich nie parzyste? albo ze na przemian znak sie zmienia? Przepraszam mozliwe ze jakies glupoty pisze z mojej nie wiedzy ;d
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
No chyba nie o to chodzi. To widać gołym okiem. Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów. Tak np. wyobrażałbym sobie odpowiedź na pytanie.
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
A teraz to rozumiem, jeszcze raz dziekuje bardzo mi to pomogło.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...szw1710 pisze:Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów..
Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...
To się samo rozumieEin pisze:Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...