całka nieoznaczona, mnożenie

[Andrewww]

Witam, mógłby ktoś pomóc z całką

\(\displaystyle{ \int_{}^{}xsinxcosx dx}\)

Składa się z trzech członów, więc przez części nie bardzo ?

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)}\)

i teraz przez części.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int_{}^{}xsinxcosx dx=x\sin^{2}{x}-\int{\sin{x} \left(\sin{x}+x\cos{x} \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{}xsinxcosx dx=x\sin^{2}{x}-\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }-\int{x\sin{x}\cos{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int_{}^{}xsinxcosx dx=x\sin^{2}{x}-\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }=-\cos{x}\sin{x}+\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }=-\cos{x}\sin{x}+\int{ \left(\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x} \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }=-\cos{x}\sin{x}+\int{\mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }=-\cos{x}\sin{x}+x}\)


\(\displaystyle{ 4\int_{}^{}xsinxcosx dx=2x\sin^{2}{x}-2\int{\sin^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 4\int_{}^{}xsinxcosx dx=2x\sin^{2}{x}+\cos{x}\sin{x}-x}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{}xsinxcosx dx= \frac{1}{4} \left(2x\sin^{2}{x}+\cos{x}\sin{x}-x \right)+C}\)