równanie różniczkowe drugiego stopnia

[przewod]

witam, nie potrafię robić takich zadań, i liczę na Waszą pomoc w nauczeniu się tego

\(\displaystyle{ y''+3y'-2y=e ^{-x} +x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ s ^{2} +3s-2=0}\)

liczę deltę i s1, s2, wychodzą dość pokopane liczby więc będę pisał symbolem dalej a nie liczbami

\(\displaystyle{ y=C1e ^{s1x}+C2e ^{s2x}}\)

tyle chyba potrafie, o ile to jest dobrze. tylko co dalej?

[BettyBoo]

Dalej albo metoda uzmienniania stałych albo metoda przewidywania, którą trzeba zrobić dla dwóch oddzielnych równań: \(\displaystyle{ y''+3y'-2y=e ^{-x}}\) oraz \(\displaystyle{ y''+3y'-2y=x ^{2}}\).

Z czym konkretnie masz problem?

Pozdrawiam.

[przewod]

konkretnie to mam problem z tym, ze nie wiem za bardzo na czym te metody polegają... "przespałem: akurat ten moment na ćwiczeniach

[BettyBoo]

Metody polegają na wstawianiu do wzoru. Wobec tego najpierw wypadałoby ten wzór znać, nie sądzisz? Wykładów chyba nie przespałeś, co? Jeśli przespałeś, to zajrzyj np tutaj oraz tutaj.

Przeczytaj ze zrozumieniem i spróbuj zastosować w swoim zadaniu (polecam metodę przewidywania, wymaga mniej obliczeń i nie trzeba całkować). Pokaż co tam liczysz, to sprawdzimy czy dobrze.

Pozdrawiam.

[przewod]

ale chwila, metoda przewidywania dla oddzielnych równań, tak?
z tego co przegladałęm notatki to to będzie mniej więcej coś takiego:
\(\displaystyle{ ys=Ae ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y's=-Ae^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''s=Ae^{-x}}\)?

i analogicznie drugie równanie

\(\displaystyle{ ys=Ax ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y's=2Ax}\)
\(\displaystyle{ y''s=2A}\)

coś takiego? jeśli tak, to co dalej z tym robic?:)

edit: o, dziękuję bardzo, juz się zapoznaję-- 29 cze 2010, o 18:05 --jeśli to choc trochę rozumiem, to gdyby nie było tam na końcu tego \(\displaystyle{ x ^{2}}\), to to co napisałem byłoby dobrze?

[BettyBoo]

Dla pierwszego równania dobrze przewidziałeś rozwiązanie, ale teraz trzeba obliczyć \(\displaystyle{ A}\). Wstaw to co przewidziałeś do równania i oblicz.

Dla drugiego to już tak fajnie nie jest - przewidywane rozwiązanie nie musi być jednomianem, jest wielomianem, a więc \(\displaystyle{ y_s=Ax^2+Bx+C}\). Stałe obliczysz wstawiając to do równania.

Pozdrawiam.

[przewod]

czyli \(\displaystyle{ Ae ^{-x} -3Ae ^{-x}-2Ae ^{-x}=e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ A=- \frac{1}{4}}\)?



i teraz analogicznie to z iksem

\(\displaystyle{ y_s=Ax ^{2} +Bx+C}\)
i tak samo liczyć pochodne z tego?
\(\displaystyle{ y'_s=2Ax+B}\)
\(\displaystyle{ y''_s=2A}\)

i to tak samo podstawić do równania:
\(\displaystyle{ 2A+6Ax+3B-2Ax ^{2}-2Bx-2C=x ^{2}}\)? jeśli tak, to czy mogę za A podstawić tu to co wcześniej wyliczyłem?

[BettyBoo]

czyli \(\displaystyle{ Ae ^{-x} -3Ae ^{-x}-2Ae ^{-x}=e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ A=- \frac{1}{4}}\)?

No, więc z tego masz jedno rozwiązanie szczególne.

i to tak samo podstawić do równania:
\(\displaystyle{ 2A+6Ax+3B-2Ax ^{2}-2Bx-2C=x ^{2}}\)? jeśli tak, to czy mogę za A podstawić tu to co wcześniej wyliczyłem?

Nie, bo to jest inne równanie i inne \(\displaystyle{ A}\). Liczysz wszystko na nowo.

Stąd otrzymasz drugie rozwiązanie szczególne. Rozwiązanie wyjściowego równania to suma rozwiązania ogólnego (tego z pierwszego posta) i obu rozwiązań szczególnych.

Pozdrawiam.

[przewod]

ok, więc chyba już rozumiem dziękuję bardzo za sporą pomoc i cierpliwosć