które założenia między zbiorami są sprzeczne

[tyop_]

mam takie zadanie:
zbadaj, które z podanych niżej układów założeń, dotyczących stosunków między zbiorami A,B,C są sprzeczne. Dla układów niesprzecznych wskaż przykład zbiorów, które je spełniają.

\(\displaystyle{ A \cap B = A
\\
B \cap C = 0
\\
A \cap C \neq 0
\\

i drugie
\\
A \cap (B \cup C) = A
\\
A \cap (B-C) = 0
\\
A \cap (B \cap C) = 0
\\
A \cap (C-B) = 0}\)

[knrt]

Co rozumiesz przez określenie sprzeczne? Możesz podać przykład dwóch założeń sprzecznych?

1) Przykład zbiorów spełniających zależności: \(\displaystyle{ A=(0,1), B=(0,3), C=(10,20)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R}\)

2) Z zależności wynika, że \(\displaystyle{ A=\emptyset}\). Przykład \(\displaystyle{ A=\emptyset, B=C=\{2\}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R}\).

[miki999]

Rozumiem, że autor tematu pod notacją "\(\displaystyle{ 0}\)" miał na myśli "\(\displaystyle{ \emptyset}\)"?

Powyższy przykład jest niepoprawny, gdyż: \(\displaystyle{ A \cap C= \emptyset}\). Układ jest sprzeczny, bo pierwsze równanie sugeruje, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), no i z tego wnioskujemy, że 2.i 3. równanie jest w tym przypadku sprzeczne (autorka tematu domyśla się dlaczego?).

2. Przykład powyżej jest poprawny, chociaż niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) (może być \(\displaystyle{ B=C=\emptyset}\)).



Pozdrawiam.

[knrt]

1. Mój błąd wziął się z przeoczenia.
Przyjąłem \(\displaystyle{ A\cap C=\emptyset}\), zamiast \(\displaystyle{ A\cap C\neq\emptyset}\) jak pisze autor.

2. Tu rozumuję następująco:

\(\displaystyle{ A\cap (B \cup C)=A \Rightarrow A\setminus (B\cup C) =\emptyset}\)

Dalej
\(\displaystyle{ A= \left[A\setminus (B\cup C) \right] \cup \left[A\cap (B\setminus C) \right] \cup \left[A\cap (B\cap C) \right] \cup \left[A\cap (C\setminus B )\right] =\emptyset}\)

...chociaż niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) (może być \(\displaystyle{ B=C=\emptyset}\)).
Pozdrawiam.

Ale jeśli \(\displaystyle{ B=C=\emptyset}\),
to z równości \(\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = A}\) też mamy \(\displaystyle{ A=\emptyset}\).-- 29 cze 2010, o 18:31 --

Możesz podać przykład dwóch założeń sprzecznych?

Dzięki miki999. Oczywiście sprzeczne są dwa założenia \(\displaystyle{ A\cap C=\emptyset,A\cap C\neq\emptyset}\).

[miki999]

Ale jeśli \(\displaystyle{ B=C=\emptyset}\),
to z równości \(\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = A}\) też mamy \(\displaystyle{ A=\emptyset}\).

Tym razem moje niedopatrzenie. Jesteśmy kwita

[tyop_]

Niestety autorka tematu nie ma pojęcia o co tutaj chodziło, gdyż w książce nic więcej na ten temat nie było napisane.
Bardzo dziękuję za pomoc. Mam więcej przykładów, ale dzięki Waszej pomocy już sobie z nimi poradzę.

[knrt]

Niestety autorka tematu nie ma pojęcia o co tutaj chodziło, gdyż w książce nic więcej na ten temat nie było napisane.
Bardzo dziękuję za pomoc. Mam więcej przykładów, ale dzięki Waszej pomocy już sobie z nimi poradzę.

Głównie korzystam z diagramów Venna dla 3 zbiorów