[Planimetria] Obliczyć pole czworokąta KLMN znając pole innego czworokąta.

[piotrek9299]

Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu 1. Punkt K jest symetryczny do punktu B względem punktu A, punkt L jest symetryczny do punktu C względem punktu B, punkt M jest symetryczny do punktu D względem punktu C, punkt N jest symetryczny do punktu A względem punktu D. Oblicz pole czworokąta KLMN.

To co zauważyłem, to równość pól:
\(\displaystyle{ P_{AKC}=P_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ P_{AKD}=P_{ABD}}\)
\(\displaystyle{ P_{CMA}=P_{CDA}}\)
\(\displaystyle{ P_{CMB}=P_{CDB}}\)
\(\displaystyle{ P_{LBA}=P_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ P_{LBD}=P_{BDC}}\)
\(\displaystyle{ P_{NBA}=P_{ABD}}\)
\(\displaystyle{ P_{NCA}=P_{ADC}}\)

Myślę, że to będzie kluczowe, bo w sumie nic innego nie wiemy o odcinkach niż to, że np. AK=AB, no i wysokości opuszczone do tych równych odcinków są równe.

Próbowałem jakoś napisać to szukane pole (taki motylek mi wychodzi) jako sumę i różnicę pól tych trójkątów ABD i BDC ale coś nie wychodzi ;|

Z góry dziękuję za pomoc.

[xanowron]

Zauważ, że pole tego czworokąta to \(\displaystyle{ P_{ABCD}+P_{BLK}+P{LMC}+P_{MND}+P_{NKA}}\)

Narysuj przekątne czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) - przecinają się elegancko w środku i dzielą czworokąt na 4 trójkąty. Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \(\displaystyle{ S}\).

I teraz np. trójkąt \(\displaystyle{ NKA}\), po pierwsze to \(\displaystyle{ P_{DKA}=P_{ABD}=P_{ABS}+P_{ADS}}\), dodatkowo wiemy, że \(\displaystyle{ P_{DKA}=P_{NKD}}\) (\(\displaystyle{ |AD|}\) i \(\displaystyle{ |DN|}\) mają te same długości i opuszczona na nie wysokość jest taka sama)
Zatem mamy \(\displaystyle{ P_{NKA}=2 \cdot (P_{ABS}+P_{ADS})}\)

Analogicznie robisz dla trójkątów \(\displaystyle{ BLK, LMC, MND}\) i po zsumowaniu pól wyłączysz przed nawias \(\displaystyle{ P_{ABS}+P_{ADS}+P_{BCS}+P_{CDS}=P_{ABCD}=1}\)

[piotrek9299]

Ehh, myślę, że miałbym większe szanse na zrobienie tego zadania, gdybym dobrze przeczytał treść ;/
A przeczytałem, że: punkt N jest symetryczny do punktu D względem punktu A ;|

No nic, dziękuję