Szereg Fouriera

[PQR]

Jak za pomocą rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji |sinx| na przedziale (-pi,pi) pokazać, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1} }{4n ^{2} -1} = \frac{\pi-2}{4}}\)

(wg moich obliczeń szereg sinusa
\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi} +2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1+(-1) ^{n} }{1-n ^{2} }cosnx}\))

[luka52]

Powinno wyjść: \(\displaystyle{ |\sin x| = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^n}{n^2 - 1} \cos n x = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^{2k}}{(2k)^2 - 1} \cos 2k x}\).
Dalej wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ x}\) odpowiednią wartość.

[PQR]

Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ? Bo mi tam wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-4}{\pi}}\) i nie wiem gdzie mój błąd

\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} sinx dx= \frac{2}{\pi} (cos\pi-cos0)= \frac{-4}{\pi}}\)

[luka52]

Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ?

Nie, tyle ma wynieść \(\displaystyle{ \tfrac{a_0}{2}}\).
Odnośnie Twojego wyniku, to jak całka z funkcji dodatniej może dać wynik ujemny?

[PQR]

\(\displaystyle{ cos\pi=-1}\) \(\displaystyle{ cos0=1}\)
\(\displaystyle{ -1-1=-2}\)
\(\displaystyle{ -2*2=4}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \int \sin x \; \mbox d x = ?}\)

[PQR]

-cosx, dobra już sie więcej nie wypowiadam...