Różniczki z zerówki
Różniczki z zerówki
Witam. Kilka dni temu odbył się egzamin zerowy. Czy byłby ktoś w stanie rozwiązać te 2 zadania?
Wrzucam wszystkie do tego tematu, bo nie chcę ich tak rozrzucać po kilku. Mam nadzieję, że to nie problem.;]
1. \(\displaystyle{ y''+2y'+y= e^{x}+ e^{-x}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{3}ysinx= -y^{4}sinx}\)
Z góry wielkie dzięki.
Wrzucam wszystkie do tego tematu, bo nie chcę ich tak rozrzucać po kilku. Mam nadzieję, że to nie problem.;]
1. \(\displaystyle{ y''+2y'+y= e^{x}+ e^{-x}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{3}ysinx= -y^{4}sinx}\)
Z góry wielkie dzięki.
Ostatnio zmieniony 27 cze 2010, o 11:39 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony.
Różniczki z zerówki
1. Równanie charakterystyczne
2. Znany typ równania. Powiesz nam jaki?
Trochę pracy Cię czeka jak widać
2. Znany typ równania. Powiesz nam jaki?
Trochę pracy Cię czeka jak widać
Ostatnio zmieniony 27 cze 2010, o 11:41 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Część postu usunięta - dotyczyła usuniętego wcześniej fragmentu dyskusji.
Powód: Część postu usunięta - dotyczyła usuniętego wcześniej fragmentu dyskusji.
Różniczki z zerówki
Zadanie nr 1
\(\displaystyle{ y''+2y'+y=e^{x}+e^{-x}}\)
Obliczam deltę
4-4=0
Więc:
\(\displaystyle{ y=e^{ r_{0}x }(C_{1}x+C_{2}), gdzie r_{0}= \frac{-b}{2a}}\)
Więc
CORJ
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})}\)
Teraz obliczam CSRN, którą przewiduję jako funkcję postaci:
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}-Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=AE^{x}+Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ Ae^{x}+Be^{-x}+2Ae^{x}-2Be^{-x}+Ae^{x}+Be^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ 4A=1}\)
\(\displaystyle{ 0B=1}\)
Może tak wyjść? Raczej nie... Szepnie więc ktoś, gdzie zrobiłem błąd?
\(\displaystyle{ y''+2y'+y=e^{x}+e^{-x}}\)
Obliczam deltę
4-4=0
Więc:
\(\displaystyle{ y=e^{ r_{0}x }(C_{1}x+C_{2}), gdzie r_{0}= \frac{-b}{2a}}\)
Więc
CORJ
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})}\)
Teraz obliczam CSRN, którą przewiduję jako funkcję postaci:
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}-Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=AE^{x}+Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ Ae^{x}+Be^{-x}+2Ae^{x}-2Be^{-x}+Ae^{x}+Be^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ 4A=1}\)
\(\displaystyle{ 0B=1}\)
Może tak wyjść? Raczej nie... Szepnie więc ktoś, gdzie zrobiłem błąd?
Różniczki z zerówki
\(\displaystyle{ \left( \lambda+1\right)^2 \ czyli \ \lambda_1=\lambda_2=-1}\)
czyli, przy \(\displaystyle{ e^{-t}}\) podnosisz o dwa stopień wielomianu
czyli, przy \(\displaystyle{ e^{-t}}\) podnosisz o dwa stopień wielomianu
Różniczki z zerówki
U Ciebie dla obu lambdy -1 jest wielomian stopnia zerowego (\(\displaystyle{ A}\)), a powinien być drugiego. Trzeba szukać rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ y=Ax^2e^{-x}}\)
Różniczki z zerówki
Czyli rozpisuję to tak?
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}-2Bxe^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ Ae^{x}+2Be^{-x}+2Ae^{x}-4Bxe^{-x}+Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}=e^{x}+e{-x}}\)
czyli
4A=1=>A=1/4
2B=1=>B=1/2
-4B=0
B=0
Podejrzewam, że nie tak, ale innego pomysłu naprawdę nie posiadam.
Różniczki z zerówki
No na pochodnych trochę chorowałem.
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
Teraz się zgadza?
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
Teraz się zgadza?
Różniczki z zerówki
Czyli:
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}+2Ae^{x}+4Bxe^{-x}-2Bx^{2}e^{-x}+Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)
Więc:
4A=1=>A=1/4
2B=1=>B=1/2
Reszta się zeruje.
I ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}}\)
?
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}+2Ae^{x}+4Bxe^{-x}-2Bx^{2}e^{-x}+Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)
Więc:
4A=1=>A=1/4
2B=1=>B=1/2
Reszta się zeruje.
I ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}}\)
?
Różniczki z zerówki
Popatrz na swoje rozwiązanie, a potem spojrzyj, jakie postulowałeś (rachunki są chyba ok)
Różniczki z zerówki
Eee, yyy. Godzina późna, jeszcze jestem po całym dniu matmy...
Mózg jedzie już ostatkiem sił...
Znaczy, że dobrze?
Mózg jedzie już ostatkiem sił...
Znaczy, że dobrze?
Różniczki z zerówki
No nie do końca. Policzyłeś dobrze. Tylko wyłożyłeś się na przedstawieniu wyniku (a do mety było tak blisko ). Postulowałeś CSRN, jako \(\displaystyle{ Bx^2e^{-x}}\). Skąd więc w wyniku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}e^{-x}}\)?
Edit: Pamiętaj tylko, że opuszczenie w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ Cx+D}\) zaszło, bo -1 było pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego (zawarte zostało w CORJ). Jeśli byłby one inny, to już musiałbyś trzy stałe z tego wyliczać, a nie jedną (czyli Twoje \(\displaystyle{ B}\))
Edit: Pamiętaj tylko, że opuszczenie w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ Cx+D}\) zaszło, bo -1 było pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego (zawarte zostało w CORJ). Jeśli byłby one inny, to już musiałbyś trzy stałe z tego wyliczać, a nie jedną (czyli Twoje \(\displaystyle{ B}\))
Ostatnio zmieniony 28 cze 2010, o 01:41 przez Haladdin, łącznie zmieniany 1 raz.
Różniczki z zerówki
O mosz! Racja! Tudzież richtig jakby to powiedział jakiś Deutschland.^^
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}x^{2}e^{-x}}\)
Jeśli tak, to ogromne dzięki za poświęcony czas.
Jeśli nie, to... czas umierać.
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}x^{2}e^{-x}}\)
Jeśli tak, to ogromne dzięki za poświęcony czas.
Jeśli nie, to... czas umierać.