Jak za pomocą rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji |sinx| na przedziale (-pi,pi) pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1} }{4n ^{2} -1} = \frac{\pi-2}{4}}\)
(wg moich obliczeń szereg sinusa
\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi} +2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1+(-1) ^{n} }{1-n ^{2} }cosnx}\))
Szereg Fouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Szereg Fouriera
Powinno wyjść: \(\displaystyle{ |\sin x| = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^n}{n^2 - 1} \cos n x = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^{2k}}{(2k)^2 - 1} \cos 2k x}\).
Dalej wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ x}\) odpowiednią wartość.
Dalej wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ x}\) odpowiednią wartość.
-
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WrocLove
- Podziękował: 2 razy
Szereg Fouriera
Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ? Bo mi tam wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-4}{\pi}}\) i nie wiem gdzie mój błąd
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} sinx dx= \frac{2}{\pi} (cos\pi-cos0)= \frac{-4}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} sinx dx= \frac{2}{\pi} (cos\pi-cos0)= \frac{-4}{\pi}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Szereg Fouriera
Nie, tyle ma wynieść \(\displaystyle{ \tfrac{a_0}{2}}\).PQR pisze:Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ?
Odnośnie Twojego wyniku, to jak całka z funkcji dodatniej może dać wynik ujemny?
-
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WrocLove
- Podziękował: 2 razy
Szereg Fouriera
\(\displaystyle{ cos\pi=-1}\) \(\displaystyle{ cos0=1}\)
\(\displaystyle{ -1-1=-2}\)
\(\displaystyle{ -2*2=4}\)
\(\displaystyle{ -1-1=-2}\)
\(\displaystyle{ -2*2=4}\)