Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

[apocalyptiq]

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n}{n\sqrt{n}-1}}\)
Jako że jest to szereg naprzemienny, badamy \(\displaystyle{ a_{n}}\). W nieskończoności dąży do 0, więc jeden warunek spełniony. Z drugim mam problem - czy jest niemalejący. Rozumiem że trzeba dowieść, że \(\displaystyle{ a_{n} \geqslant a_{n+1}}\), ale w jaki sposób to zrobić?
I czym jest ta zbieżność bezwzględna?

[Crizz]

Mamy szereg o wyrazie \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{(-1)^{n}n}{n\sqrt{n}-1}}\).

Zaczynamy od zbadania, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny, czyli czy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\):

\(\displaystyle{ |a_{n}|=\frac{n}{n\sqrt{n}-1}}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{n}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}}\), a ten ostatni szereg jest oczywiście rozbieżny. Szereg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) jest również rozbieżny, czyli wyjściowy szereg na pewno nie jest bezwzględnie zbieżny.

Możemy teraz zbadać przebieg funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x\sqrt{x}-1}}\).
\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{x\sqrt{x}+2}{2(x\sqrt{x}-1)^{2}}}\)
Mianownik jest zawsze nieujemny, zatem znak pochodnej zależy od licznika; widzimy, że pochodna jest zawsze ujemna, czyli rozważany ciąg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) jest malejący.

Ostatecznie, szereg jest zbieżny, ale tylko warunkowo.

[apocalyptiq]

Hm, skąd wziąłeś tą funkcję \(\displaystyle{ f'(x)}\)?

[miodzio1988]

Policzył kolega pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)