Rozwiązać równanie różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 19 sty 2010, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mysłowice
Rozwiązać równanie różniczkowe
Witam
Muszę rozwiążać rownanie różniczkowe. Przyznaję, że nie radzę sobie. Próbuje "skumać to" jakoś przerabiając książkę Włodarskiego.
Mógłby ktoś rozwiązać je KROK PO KROKU z możliwymi komentarzami?
Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)
Muszę rozwiążać rownanie różniczkowe. Przyznaję, że nie radzę sobie. Próbuje "skumać to" jakoś przerabiając książkę Włodarskiego.
Mógłby ktoś rozwiązać je KROK PO KROKU z możliwymi komentarzami?
Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)
Ostatnio zmieniony 25 cze 2010, o 16:25 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów[latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Rozwiązać równanie różniczkowe
Po prawej rozbijasz ułamek na dwa inne, wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) , zróżniczkuj stronami żeby otrzymać y' (pamiętając, że postaci funkcji u(x) nie znamy) - dalej powinieneś sobie poradzić
- nemezis100807
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 30 mar 2009, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Rozwiązać równanie różniczkowe
Masz tu równanie różniczkowe jednorodne, gdyż
\(\displaystyle{ y^{\prime}=\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{y}{x}-1}\).
\(\displaystyle{ y^{\prime}=\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{y}{x}-1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 19 sty 2010, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mysłowice
Rozwiązać równanie różniczkowe
Hm. Raczej nie. Nie umiem "skapować" tej metody.
Jeśli ma ktoś czas - proszę o rozpisanie.
Z góry dziękuję
Jeśli ma ktoś czas - proszę o rozpisanie.
Z góry dziękuję
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Rozwiązać równanie różniczkowe
Równanie można przedstawić równoważnie w postaci \(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}y-1}\). Jest to równanie liniowe niejednorodne. Rozważmy metodę rozwiązania opisaną w 100572.htm .
Mamy \(\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{x}, b(x)=-1}\). Stąd \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\ln|x|, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int -\frac{dx}{|x|}=\begin{cases} \ln(-x)\ \text{dla}\ x<0 \\ -\ln x\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=\begin{cases} -x(\ln(-x)+C)\ \text{dla}\ x<0 \\ x(-\ln x+C)\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą.
Mamy \(\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{x}, b(x)=-1}\). Stąd \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\ln|x|, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int -\frac{dx}{|x|}=\begin{cases} \ln(-x)\ \text{dla}\ x<0 \\ -\ln x\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=\begin{cases} -x(\ln(-x)+C)\ \text{dla}\ x<0 \\ x(-\ln x+C)\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiązać równanie różniczkowe
lukasz1804, tylko po co przedstawiac w takiej postaci ?
Nie lepiej w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{1}{x}y=-1}\)
Wtedy widać że lewa (a właściwie prawa) strona równania przypomina pochodną iloczynu
Skoro lewa strona przypomina pochodną iloczynu to można albo pomnożyć równanie przez taką funkcję
aby rzeczywiście była ona pochodną iloczynu albo przedstawić szukaną funkcję za pomocą iloczynu dwóch innych funkcji
W obydwu przypadkach trzeba pomocniczo rozdzielić zmienne
Nie lepiej w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{1}{x}y=-1}\)
Wtedy widać że lewa (a właściwie prawa) strona równania przypomina pochodną iloczynu
Skoro lewa strona przypomina pochodną iloczynu to można albo pomnożyć równanie przez taką funkcję
aby rzeczywiście była ona pochodną iloczynu albo przedstawić szukaną funkcję za pomocą iloczynu dwóch innych funkcji
W obydwu przypadkach trzeba pomocniczo rozdzielić zmienne