Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję

[apocalyptiq]

Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{2}}{2-x}}\)
Podaj przedział zbieżności otrzymanego szeregu oraz oblicz \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)
W jaki sposób zamienia się funkcję w szereg Mclaurina?

[luka52]

To jest dość prosty przykład, w którym wystarczy znać wzór na sumę szeregu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{2^n}}\)

Mnożąc całość przez \(\displaystyle{ x^2}\) otrzymamy żądane rozwinięcie.

[apocalyptiq]

Dzięki!
A jeszcze, jak obliczyć \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)? To jest 18 wyraz tej sumy dla x=0?

[luka52]

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{18}}\) to ogólnie \(\displaystyle{ \tfrac{1}{18!} f^{(18)}(0)}\) - przyrównaj to do odpowiedniego współczynnika z otrzymanego rozwinięcia.

[apocalyptiq]

Czyli to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{18!} f^{(18)}(0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{18}}\)
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{18}18!}\)
I to jest wynik?

[luka52]

Nie, \(\displaystyle{ \frac{1}{18!} f^{(18)}(0) x^{18}= \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{16}}\).

[apocalyptiq]

Czyli odpowiedzią ostateczną jest:
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0)= \frac{x^{2}}{2} (\frac{x}{2})^{16}18!\frac{1}{x^{18}}}\)
?

[luka52]

Tylko bez tych \(\displaystyle{ x}\).

[apocalyptiq]

których x? jak wywalimy iksy, to zostanie tylko 18!

[luka52]

Przecież wszystkie iksy się uproszczą.

[apocalyptiq]

A, czyli odpowiedzią będzie:
\(\displaystyle{ f^{(18)}(0)= \frac{18!}{2^{17}}}\)
?

[luka52]

Właśnie tak.

[apocalyptiq]

Dzięki -- 26 czerwca 2010, 14:05 --Dzięki