Analiza zespolona - kilka zadań

[Tomcat]

Witajcie, przygotowuję się do egzaminu i napotkałem na problemy z kilkoma zadaniami. Przeszukałem forum i nie znalazłem na nie odpowiedzi, więc zakładam nowy temat. Niestety, moja wiedza z tego tematu jest raczej książkowa i nie zdążyłem sprawdzić jej w praktyce (prowadzący wprowadził odpowiednie pojęcia 3-4 tygodnie temu, a niestety nie mogłem być obecny na wszystkich zajęciach z tych 4, a egzamin chciałbym w miarę w porządku napisać). Treści przykładowych zadań:

1. Znaleźć funkcję analityczną jeżeli znana jest część rzeczywista u(x,y) i wartość f(z0)
\(\displaystyle{ u(x,y)=x^3-3xy^2+2x+1 \\ f(0) = 1}\)

2. Obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} (\overline{z} + z\overline{z})dz}\)
gdzie C jest łukiem \(\displaystyle{ |z|=1 \ \ 0 \le argz \le \pi}\)

3. Rozwinąć w szereg Laurenta
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z^2-1} \\ 1 < |z+2| < 3 \\z_{0}=-2}\)

4. Znaleźć residua w punktach osobliwych
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2(z-1)}}\)

5. Oblicz całki
(a) \(\displaystyle{ \int_{|z|=4}^{} \frac{z}{z^4+16}dz}\)
(b) \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x sin x dx}{(x^2+1)^2}}\)

Prosiłbym o jakieś wskazówki, ewentualnie jakieś naprowadzenie w postaci początku obliczeń, bo chce to zrozumieć.

Próbowałem robić też sam pierwsze zadanie.
Jak rozumiem musimy tu skorzystać z równań Cauchy'ego-Riemanna, tzn
\(\displaystyle{ u'_x = v'_y \\ u'_y = 0 v'_x}\)
Liczę więc i otrzymuję
\(\displaystyle{ u'_x = 3x^2 - 3y^2+2 \\ u'_y=-6xy}\)
Z tego
\(\displaystyle{ v'_y = 3x^2 - 3y^2+2 \\ v'_x=6xy}\)
Ale po scałkowaniu wychodzą mi dwa zupełnie różne wyniki
\(\displaystyle{ v= \int_{}^{} {3x^2-3y^2+2}dy = 3x^2y-y^3+2y+C \\
v = \int_{}^{} {6xy}dx = 3x^2y + C}\)
W tym momencie już nie rozumiem, czemu tak jest? Co teraz dalej z tym zrobić?

[luka52]

ad 1. Po kolei - najpierw obliczyłeś, że \(\displaystyle{ u'_x = 3x^2 - 3y^2+2}\) i to ma się równać \(\displaystyle{ v'_y}\), czyli:

\(\displaystyle{ v = \int (3x^2 - 3y^2+2) \; \mbox d y = 3x^2 y - y^3 + 2y + \varphi (x)}\)

Liczymy z tego pochodną po \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ v'_x = 6xy + \varphi'(x)}\) i przyrównujemy do \(\displaystyle{ -u'_y = 6xy}\), stąd \(\displaystyle{ \varphi (x) = \text{const} = C}\). Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczysz z warunku \(\displaystyle{ f(0) = 1}\).

ad 2. Postać parametryczna łuku \(\displaystyle{ C}\) to: \(\displaystyle{ z(t) = e^{it}, \; t \in [0,\pi]}\) - wstaw do całki i oblicz.

ad 4. Wyznacz bieguny i ich krotności, a następnie liczysz residuum ze wzorku.

[Tomcat]

Ok, dzięki za to pierwsze, teraz już to zupełnie czuję.

Co do 4, to mam takie rozwiązanie, jest dobrze? :
\(\displaystyle{ z_0=0 \rightarrow 2-biegun \\ z_1 = 1 \rightarrow 1-biegun}\)
To co wyżej napisałem wydaję mi się tak oczywiste, że nawet do końca nie wiem jak takiego coś pokazać.

Dalej tak jak pisałeś, ze wzoru:
\(\displaystyle{ Res_{z_1}= \lim_{z \to 1} f(z) \cdot (z-1) = \lim_{z \to 1} {\frac{1-\cos z}{z^2}}=1 - \cos 1}\)

\(\displaystyle{ Res_{z_0} = \lim_ { z \to 0} {(z^2 \cdot f(z))'} = \lim_{z \to 0} (\frac{1 - \cos z}{(z-1)})'
= \lim_{z \to 0}(- \frac{1}{z^2} + \frac{\cos z}{z^2} + \frac{\sin z}{z} - \sin z) =
\lim_{z \to 0} (\frac{\sin z}{z} - \sin z + \frac{\cos z - 1}{z^2}) = 2}\)

I tu mam problem co dalej z tą granicą.

EDIT:
Ok, teraz już chyba widzę. Dopisałem resztę obliczeń. Wszystko jest poprawnie?

[luka52]

Wykorzystaj to, że \(\displaystyle{ \tfrac{\sin z}{z} \stackrel{z \to 0}{\longrightarrow} 1}\) i \(\displaystyle{ \tfrac{1-\cos z}{z^2} \stackrel{z \to 0}{\longrightarrow} 1}\) (co jest niemal oczywiste korzystając z przedstawienia funkcji sinus i kosinus jako odpowiednich szeregów).

[Tomcat]

Spróbowałem też rozwiązać 2 zadanie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}(e^{-it} + 1)ie^{it} dt = \int_{0}^{\pi} (i + ie^{it})dt = it | _{0}^{\pi} +
e^{it} | _{0}^{\pi} = \pi i + e^{i \pi}-1 = \pi i - 2}\)

[luka52]

Jest ok.

[Tomcat]

Teraz rozwinięcie w szereg Laurenta:

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z^2} \\ 1 < | z+2| < 3 \\ z_0 = -2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1})}\)

Rozwijam teraz oba wyrazy sumy w nawiasie.Najpierw
(1) \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z+2-3}= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z+2}{3}}=
-\frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{z+2}{3})^n}\)

(2) \(\displaystyle{ -\frac{1}{z+1} = -\frac {1} {z + 2 - 1} =- \frac{1}{(z+2)(1 - \frac{1}{z+2})} =
-\frac{1}{z+2} \cdot \sum_{n = -1}^{- \infty } (z+2)^n}\)

Tyle potrafię zrobić, ale jak to teraz sprowadzić do postaci szeregu Laurenta \(\displaystyle{ \sum_{j=- \infty }^{ \infty } a_j(z - z_o)^j}\) ? Samo zapisanie f(z) jako (1) + (2) jest w porządku, ale wolałbym umieć też to zapisać to tak jak należy.

[luka52]

W (2) powinno być tylko \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{+\infty} \tfrac{1}{(z+2)^n}}\).
Jeśli zaś chodzi o zapis to albo (1) + (2) albo tak jak zapisałeś i obok dopisek jakie wartości (w zależności od j) przyjmuje \(\displaystyle{ a_j}\).