Całka nieoznaczona

[Bodzio2203]

Proszę o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \int arc tg \sqrt{x+1}dx =...}\)

podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{t}=\frac{1}{x+1}}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{t} \right) ^2=\frac{1}{x^2+1}}\)

\(\displaystyle{ t^{-3} dt=arc tgx dx}\)

\(\displaystyle{ ...=\int \sqrt{t} \cdot t^{-3} dt= \int t^{- \frac{5}{2} } dt= -\frac{2}{3} t^{ -\frac{3}{2} }+C = -\frac{2}{3}(x+1) ^{ -\frac{3}{2} } + C}\)

[meninio]

\(\displaystyle{ \frac{1}{t} =\frac{1}{x+1}}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{t} \right) ^2=\frac{1}{x^2+1}}\)

Ten moment jest najciekawszy. Wytłumacz to.

[Bodzio2203]

Racja. Chciałem podnieść obustronnie do kwadratu, ale teraz widzę że w mianowniku będzie \(\displaystyle{ x^{2}+2x+1}\) no i to paskudzi wszystko:/

Jakiś inny pomysł?

[meninio]

Podstawienie: \(\displaystyle{ t^2=x+1}\).
Potem przez części.

[Mariusz M]

Można od razu przez części

\(\displaystyle{ \int{\arctan{ \sqrt{x+1} } \mbox{d}x }= \begin{vmatrix} \mbox{d}u= \mbox{d}x &v=\arctan{ \sqrt{x+1} } \\u= \left(x+2 \right)& \mbox{d}v= \frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } \end{vmatrix}= \left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }-\int{ \frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } \cdot \left(x+2 \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =\left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }-\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2 \sqrt{x+1} } }}\)

\(\displaystyle{ =\left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }- \sqrt{x+1}+C}\)

[meninio]

Można od razu przez części

\(\displaystyle{ \int{\arctan{ \sqrt{x+1} } \mbox{d}x }= \begin{vmatrix} \mbox{d}u= \mbox{d}x &v=\arctan{ \sqrt{x+1} } \\u= \left(x+2 \right)& \mbox{d}v= \frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } \end{vmatrix}= \left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }-\int{ \frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } \cdot \left(x+2 \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =\left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }-\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2 \sqrt{x+1} } }}\)

\(\displaystyle{ =\left(x+2 \right)\arctan{ \sqrt{x+1} }- \sqrt{x+1}+C}\)

Po co od razu dajesz te gotowce??
Nie na tym polega nauka....Jako "doświadczony" użytkownik tego forum powinieneś to wiedzieć.
No chyba, że cię to tak jara, że nie umiesz się powstrzymać i ci się palce trzęsą, żeby wklepać jakąś całkę.