Zbieżnośc szeregu

[misiozdzisio]

Zbadać zbieżnośc szeregu
\(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{1+x^{n}}\newline
\lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+x^{n}} \rightarrow 0}\)
więc zbieżny pktowo.
teraz jednostajnie
\(\displaystyle{ sup(f_{n}(x) - f(x)) = sup(\frac{1}{1+x^n} - \frac{1}{1+x^{0}})}\)
to nam nic nie mówi więc liczymy miejsca zerowe pochodnej z wyrażenia powyżej i sprawdzamy czy w miejscu zerowym dąży do zera po podstawieniu x=miejsce_zerowe, tak? Prosiłbym o naprowadzenie

[luka52]

Najpierw wyznacz poprawnie postać funkcji granicznej - to nie będzie \(\displaystyle{ 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\).

[misiozdzisio]

Rozumiem, że x nie może należeć do \(\displaystyle{ [-1;1]}\) ale co potem? Mógłbyś dać jakieś wskazzówki lub rzetelny tutorial?

[luka52]

Rozumiem, że x nie może należeć do \(\displaystyle{ [-1;1]}\) ale co potem? Mógłbyś dać jakieś wskazzówki lub rzetelny tutorial?

A to z jakiego powodu? Jedynie dla \(\displaystyle{ x = -1}\) granica nie istnieje, a dla pozostałych można ją wyznaczyć.

[misiozdzisio]

A mógłbyś mi to opisać, bo z odpowiedzi nie/tak niewiele mogę wywnioskować i się nauczyć.
Teraz zauważyłem jest założenie, że
\(\displaystyle{ x \in [0;1]}\)
więc w takiej sytuacji jest zbieżny punktowo poza x=0 tak? bo wtedy ciąg sum częściowych wynosi 1,2,3,4, więc nie jest rówy i \(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} \neq 0}\) a co ze zbieżnością jednostajną? jeśli \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{1+x^{n}}}\) to \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1+x^{0}}}\)? w tym wzorze \(\displaystyle{ sup(f_{n}(x) - f(x)=0}\) chodzi o to by f(x) wyliczać podstawiając 0 za n ? A czy czasem to f(x) to nie jest
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infinity} f_{n}(x)}\) ??
Moje najnowsze badania ;D
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infinity} f_{n}(x) = 0 \rightarrow f(x) = 0 \newline
sup(f_{n}(x) - 0| = sup(f_{n}(x)) < \epsilon \rightarrow \frac{1}{1+x^{n}} < 1}\)
czyli dla danego epsilon = 1 f. jest ograniczona czyli zbieżna jednostajnie ?

[pipol]

Funkcja graniczna \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{ n\to\infty } f_n (x) =\begin{cases} 0 \mbox{ dla } x>1\\ \frac{1}{2} \mbox{ dla } x=1\\1 \mbox{ dla } -1<x<1 \\ 0 \mbox{ dla } x<-1 \end{cases}}\)
Ponieważ funkcja graniczna nie jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) więc ciąg nie może być zbieżny jednostajnie na tym przedziale, gdyż wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) są ciągłe.

[misiozdzisio]

A punktowo tylko, gdy f(x) = 0 czy jeśli da się go wyznaqczyć jak powyżej w/g jakiegoś wzoru? Dziękuję bardzo, jeszcze tylko mi to powiedz i będę wiedział to czego nie wiedziałem

[pipol]

Punktowo jest zbieżny do wyżej wymienionej funkcji.