[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Witam. Zostały mi odkserowane zadanka z I etapu małej olimpiady matematycznej gimnazjalistów z roku 2002/2003(podobno "fundamenty" pod OMG) i chciałem prosić o jakieś wskazóweczki i/lub wasze rozwiązania.
Liczby całkowite dodatnie x,y,z,t spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{4} = t ^{4}}\)
Udowodnij, że co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 10.
W Skoczkowie Królewskim mieszkają 2003 osoby. Pewnego dnia mieszkańcy grali między sobą w szachy, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z mieszkańców była liczbą pierwszą. Udowodnij, że liczba mieszkańców którzy rozegrali dokładnie dwie partie jest nieparzysta.
W kwadracie ABCD o boku 1 punkty E i F są odpowiednio środkami boków AD i CD, natomiast G jest punktem przecięcia odcinków CE i BF. Udowodnij, że odcinek AG ma długość 1
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{1+a^{2}+ b^{2} + c ^{2} } \le \frac{a}{1+ a^{2} } + \frac{b}{1 +b ^{2} } + \frac{c}{1 + c ^{2} }}\)
Z góry dziękuje Jeżeli umieściłem to w złym dziale to przepraszam
Liczby całkowite dodatnie x,y,z,t spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{4} = t ^{4}}\)
Udowodnij, że co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 10.
W Skoczkowie Królewskim mieszkają 2003 osoby. Pewnego dnia mieszkańcy grali między sobą w szachy, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z mieszkańców była liczbą pierwszą. Udowodnij, że liczba mieszkańców którzy rozegrali dokładnie dwie partie jest nieparzysta.
W kwadracie ABCD o boku 1 punkty E i F są odpowiednio środkami boków AD i CD, natomiast G jest punktem przecięcia odcinków CE i BF. Udowodnij, że odcinek AG ma długość 1
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{1+a^{2}+ b^{2} + c ^{2} } \le \frac{a}{1+ a^{2} } + \frac{b}{1 +b ^{2} } + \frac{c}{1 + c ^{2} }}\)
Z góry dziękuje Jeżeli umieściłem to w złym dziale to przepraszam
Ostatnio zmieniony 6 cze 2010, o 15:35 przez laurelandilas, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
1. Jakie reszty z dzielenia przez 10 dają czwarte potęgi?
To jest Mała Olimpiada Matematyczna, czyli coś zdecydowanie powyżej poziomu OMG.
To jest Mała Olimpiada Matematyczna, czyli coś zdecydowanie powyżej poziomu OMG.
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
\(\displaystyle{ 1 \vee 6 \vee 5 \vee 0}\)
Właśnie kaszubski nie. To nie Mała Olimpiada Licealna(zadanka strona: ... piady.html), tylko JEDYNA edycja Małej Olimpiady Gimnazjalistów zoorganizowanej przez pana Tomalczyka
Kaszubski, masz jakiś sprytniejszy sposób na dokończenie pierwszego niż "łopatologiczne" pokazywanie, że zawsze wyjdzie? Bo tych kombinacji jest kilkanaście..
Właśnie kaszubski nie. To nie Mała Olimpiada Licealna(zadanka strona: ... piady.html), tylko JEDYNA edycja Małej Olimpiady Gimnazjalistów zoorganizowanej przez pana Tomalczyka
Kaszubski, masz jakiś sprytniejszy sposób na dokończenie pierwszego niż "łopatologiczne" pokazywanie, że zawsze wyjdzie? Bo tych kombinacji jest kilkanaście..
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Jakoś nie widzę innych sposobów, jak rozpatrzenie kilku przypadków.
Szkoda że przez te 7 lat poziom zdecydowanie się obniżył.
Szkoda że przez te 7 lat poziom zdecydowanie się obniżył.
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Kaszubski, poziom nauczania matematyki drastycznie spada. Poza tym mamy niż demograficzny => mniej osób na konkursy.
Masz jakiś sprytny sposób na tą nierówność?Jeśli chodzi o sprytny to niekoniecznie nierówność Cauchy'ego
Masz jakiś sprytny sposób na tą nierówność?Jeśli chodzi o sprytny to niekoniecznie nierówność Cauchy'ego
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Faktycznie, przepraszam Powinno być rzeczywistych dodatnich.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a^{2}}>\frac{a}{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Geo:
Zauważmy, że trójkąty GCF i GBC są podobne (skala 1:2). \(\displaystyle{ GC=x}\), więc \(\displaystyle{ BG=2x}\), \(\displaystyle{ GF=0,5x}\).
Poprowadźmy z punktu A prostą równoległą do odcinka CD. Oznaczmy przez H i I odpowiednio punkty przecięcia tej prostej z odcinkami BG i BC. \(\displaystyle{ BI=1/2}\) Trójkąty CGF i BHI są przystające. Zatem \(\displaystyle{ BH=x}\). Stąd \(\displaystyle{ GH=2x-x=x}\). Zatem dorysowana prosta (pop. z pkt A) jest symetralną boku BG, a zatem trójkąt ABG jest równoramienny i \(\displaystyle{ AG=AB=1}\)
ps
Pominęłam kilka wniosków. Zdaję sobie z tego sprawę.
Zauważmy, że trójkąty GCF i GBC są podobne (skala 1:2). \(\displaystyle{ GC=x}\), więc \(\displaystyle{ BG=2x}\), \(\displaystyle{ GF=0,5x}\).
Poprowadźmy z punktu A prostą równoległą do odcinka CD. Oznaczmy przez H i I odpowiednio punkty przecięcia tej prostej z odcinkami BG i BC. \(\displaystyle{ BI=1/2}\) Trójkąty CGF i BHI są przystające. Zatem \(\displaystyle{ BH=x}\). Stąd \(\displaystyle{ GH=2x-x=x}\). Zatem dorysowana prosta (pop. z pkt A) jest symetralną boku BG, a zatem trójkąt ABG jest równoramienny i \(\displaystyle{ AG=AB=1}\)
ps
Pominęłam kilka wniosków. Zdaję sobie z tego sprawę.
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Dostałem zadania z pierwszego dnia II etapu:
1. Udowodnij, że istnieje rosnący ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) o wyrazach całkowitych dodatnich taki, że dla każdego n liczba \(\displaystyle{ a ^{2} _{n+1}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a ^{2} _{n}+1}\)
2.Kolejne boki pięciokąta wypukłego mają długość 1,2,3,4,5. Udowodnij, że w ten pieciokąt nie można wpisać okręgu.
3.Liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają warunek: ab + cd = ac + bd = ad + bc
Udowodnij, że :
\(\displaystyle{ bc ^{2}d ^{3} +cd ^{2} a^{3} + da^{2}b^{3} + ab^{2}c^{3} = a^{3}b^{3} + c^{3}d^{3} + abc^{2}d^{2} + a^{2}b^{2}cd}\)
Czas pracy - 270 minutek
Jest tu jeszcze jakiś cwaniak?:D
1. Udowodnij, że istnieje rosnący ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) o wyrazach całkowitych dodatnich taki, że dla każdego n liczba \(\displaystyle{ a ^{2} _{n+1}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a ^{2} _{n}+1}\)
2.Kolejne boki pięciokąta wypukłego mają długość 1,2,3,4,5. Udowodnij, że w ten pieciokąt nie można wpisać okręgu.
3.Liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają warunek: ab + cd = ac + bd = ad + bc
Udowodnij, że :
\(\displaystyle{ bc ^{2}d ^{3} +cd ^{2} a^{3} + da^{2}b^{3} + ab^{2}c^{3} = a^{3}b^{3} + c^{3}d^{3} + abc^{2}d^{2} + a^{2}b^{2}cd}\)
Czas pracy - 270 minutek
Jest tu jeszcze jakiś cwaniak?:D
-
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. śląskie
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 6 razy
[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Reszta zadanek.
Zawody drugiego stopnia - drugi dzień
1.Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:
\(\displaystyle{ 126x \le 120 + x ^{2} +x ^{4}+ x ^{8} + x ^{16} + x ^{32} + x ^{64}}\)
2.Każdą z przekątnych 101-kąta foremnego pomalowano na jeden z 50 kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie przekątne tego samego koloru mające wspólny punkt wewnętrzny.
3.Na krawędziach AB, BC, CD czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 1 wybieramy odpowiednio punkty E,F,G. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość sumy:
\(\displaystyle{ DE + EF + FG + GA}\)
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Wyznacz wszystkie takie trójki liczb całkowitych dodatnich x,y,z , że \(\displaystyle{ z \ge y \ge x}\) oraz
\(\displaystyle{ xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 28}\)
2.Dany jest czworościan ABCD, w którym AB=BC=AC=CD. Udowodnij, że wszystkie kąty ściany ABD mają miarę mniejszą od 150.
3.Zbiór Z składa się z ośmiu liczb całkowitych dodatnich. Udowodnij, że istnieją dwa niepuste rozłączne podzbiory A i B zbioru Z, mające taką samą liczbę elementów, o następujących własnościach:
suma elementów zbioru A daje przy dzieleniu przez 69 taką samą resztę, jaką przy dzieleniu przez 69 daje suma elementów zbioru B.
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Ciąg \(\displaystyle{ (a _{n} )}\) liczb rzeczywistych określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge a_{n+1}= \frac{4 ^{a _{n} } }{3 ^{a _{n} } }}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\)
Udowodnij,że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierownosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} + 1}\)
2.W pieciokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest dzielony na trzy równe katy przez dwie przekatne wychodzace z wierzcholka. Udowodnij, że pieciokat jest foremny.
3.Dana jest taka liczba całkowita dodatnia n oraz liczba pierwsza p, że liczba \(\displaystyle{ n ^{4} + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\). Udowodnij, że istnieja takie liczby całkowite dodatnie a,b, że \(\displaystyle{ a \le b < p}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a ^{4} + b ^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\)
Zawody drugiego stopnia - drugi dzień
1.Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:
\(\displaystyle{ 126x \le 120 + x ^{2} +x ^{4}+ x ^{8} + x ^{16} + x ^{32} + x ^{64}}\)
2.Każdą z przekątnych 101-kąta foremnego pomalowano na jeden z 50 kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie przekątne tego samego koloru mające wspólny punkt wewnętrzny.
3.Na krawędziach AB, BC, CD czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 1 wybieramy odpowiednio punkty E,F,G. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość sumy:
\(\displaystyle{ DE + EF + FG + GA}\)
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Wyznacz wszystkie takie trójki liczb całkowitych dodatnich x,y,z , że \(\displaystyle{ z \ge y \ge x}\) oraz
\(\displaystyle{ xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 28}\)
2.Dany jest czworościan ABCD, w którym AB=BC=AC=CD. Udowodnij, że wszystkie kąty ściany ABD mają miarę mniejszą od 150.
3.Zbiór Z składa się z ośmiu liczb całkowitych dodatnich. Udowodnij, że istnieją dwa niepuste rozłączne podzbiory A i B zbioru Z, mające taką samą liczbę elementów, o następujących własnościach:
suma elementów zbioru A daje przy dzieleniu przez 69 taką samą resztę, jaką przy dzieleniu przez 69 daje suma elementów zbioru B.
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Ciąg \(\displaystyle{ (a _{n} )}\) liczb rzeczywistych określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge a_{n+1}= \frac{4 ^{a _{n} } }{3 ^{a _{n} } }}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\)
Udowodnij,że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierownosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} + 1}\)
2.W pieciokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest dzielony na trzy równe katy przez dwie przekatne wychodzace z wierzcholka. Udowodnij, że pieciokat jest foremny.
3.Dana jest taka liczba całkowita dodatnia n oraz liczba pierwsza p, że liczba \(\displaystyle{ n ^{4} + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\). Udowodnij, że istnieja takie liczby całkowite dodatnie a,b, że \(\displaystyle{ a \le b < p}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a ^{4} + b ^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\)