Nierówność w trójkącie rozwartokątnym- sprawdzenie.

[piotrek9299]

Udowodnij, że jeżeli trójkąt nie jest rozwartokątny, to jego obwód jest większy od podwojonej ednicy okręgu opisanego.


Sprawdzamy, że dla prostokątnego zachodzi: \(\displaystyle{ a+b+c>2S=4R=2c \Leftrightarrow a+b>c}\) Czyli nierówność trójkąta.
Dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ a=max(a,b,c) \Leftrightarrow \alpha = max( \alpha , \beta , \gamma )}\) (Standardowe oznaczenia).
czyli mamy, że \(\displaystyle{ 60^o \le \alpha \le 90^o}\) (bo gdyby \(\displaystyle{ \alpha <60^o}\) to z uwagi na to, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest największym kątem w trójkącie mielibyśmy sumę kątów w trójkącie mniejszą od \(\displaystyle{ 180^o}\)).
czyli \(\displaystyle{ sin \alpha \in < \frac{ \sqrt{3} }{2},1)}\).
Mamy: \(\displaystyle{ a+b+c \ge a+a+a=3a=6Rsin \alpha \ge 6Rsin60^o=3 \sqrt{3}R>4R=2S}\).

jest dobrze?

[Mistrz]

Masz błąd: skoro \(\displaystyle{ a}\) jest najdłuższym z boków to zachodzi \(\displaystyle{ a+b+c \le a+a+a}\) czyli w drugą stronę, niż napisałeś.

[piotrek9299]

No tak, racja. Głupi błąd.


Ma ktoś pomysł na poprawne rozwiązanie?