Przestrzenie ośrodkowe
Przestrzenie ośrodkowe
Udowodnić, że iloczyn kartezjański przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową.
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
-
pipol
Przestrzenie ośrodkowe
Niech \(\displaystyle{ (X_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) będzie ciągiem przestrzeni topologicznych ośrodkowych. Niech \(\displaystyle{ (V_n )_{n\in\mathbb{N}}}\) będzie ciągiem zbiorów takich, że:
1) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (V_n \subseteq X_n )}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (\overline{\overline{V_n}} \le \aleph_0 )}\)
3) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (\overline{V_n} =X_n ).}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ X=\prod_{n\in\mathbb{N}} X_n}\) oraz ustalmy \(\displaystyle{ u=(u_n )_{n\in\mathbb{N}}\in X.}\) Niech \(\displaystyle{ T=\{A: (A \subset \mathbb{N} ) \wedge (\overline{\overline{A}} < \aleph_0 )\}.}\)
Niech \(\displaystyle{ F\in T}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ Y_F =\{z=(z_n )_{n\in\mathbb{N}} \in X : (\forall_{i\in F } (z_i\in V_i )) \wedge (\forall_{i\notin F} (z_i =u_i ))\}.}\)
Łatwo widać, że zbiór \(\displaystyle{ Y= \bigcup_{F\in T} Y_F}\) jest przeliczalny i gęsty w \(\displaystyle{ X.}\)
1) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (V_n \subseteq X_n )}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (\overline{\overline{V_n}} \le \aleph_0 )}\)
3) \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N}} (\overline{V_n} =X_n ).}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ X=\prod_{n\in\mathbb{N}} X_n}\) oraz ustalmy \(\displaystyle{ u=(u_n )_{n\in\mathbb{N}}\in X.}\) Niech \(\displaystyle{ T=\{A: (A \subset \mathbb{N} ) \wedge (\overline{\overline{A}} < \aleph_0 )\}.}\)
Niech \(\displaystyle{ F\in T}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ Y_F =\{z=(z_n )_{n\in\mathbb{N}} \in X : (\forall_{i\in F } (z_i\in V_i )) \wedge (\forall_{i\notin F} (z_i =u_i ))\}.}\)
Łatwo widać, że zbiór \(\displaystyle{ Y= \bigcup_{F\in T} Y_F}\) jest przeliczalny i gęsty w \(\displaystyle{ X.}\)