Obszar zbieżności szeregu

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 11:29

Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{n} (x-\pi)^{5n+1}}\)

Nie umiem sobie poradzić gdy przy x jest cos innego niż n, 2n itp...

Bardzo proszę o pomoc..

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 11:32

Od razu mozesz skorzystac z kr Cauchy'ego. Mozesz rowniez zrobic podstawienie

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 11:36

No ja o podstawieniu jakimś właśnie myślałem... Tylko nie wiem jak mogłoby ono wyglądać...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 11:37

\(\displaystyle{ (x-\pi) ^{5} =t}\)

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 11:41

A co z tym +1? Wyłączyć przed sumę?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 11:42

No tak. Bo to liczba bedzie. Nie ma ona wplywu na zbieznosc

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 11:44

Kurczę, właśnie tak zrobiłem na kolokwium i tu też 1/10.
To ja nie wiem już gdzie się tak mylę...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 11:45

Moze w liczeniu? Pokaz jak liczysz to Ci wskaze blad.

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 11:58

O to miłe, dzięki , tylko nie pamiętam dikładnie jak tam to robiłem...

\(\displaystyle{ (x-\pi) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{n} (x-\pi)^{5n}}\)

\(\displaystyle{ (x-\pi) ^{5} =y}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[5]{y} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{n} y ^{n}}\)

Oszar zbieżności

\(\displaystyle{ \frac{1}{R}= \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{3 ^{n} }{n} } = \frac{3}{1}=3}\)

Zatem \(\displaystyle{ R= \frac{1}{3}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 11:59

To koniec? Trzeba wrocic jeszcze do podstawienia i zbadac zbieznosc na krancach

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 12:02

No tak, ale ta część była poprawna?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 12:03

Na razie jest spoko.

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 12:13

Od razu lepiej...

y jest zb na \(\displaystyle{ (- \frac{1}{3} , \frac{1}{3} )}\)

CZy krańce to będzie \(\displaystyle{ \pi- \frac{1}{3}}\),\(\displaystyle{ -\pi+ \frac{1}{3}}\)?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 cze 2010, o 12:15

Najpierw wroc do podstawienia, pozniej badaj krance.

PQR · Post autor: **PQR** » 22 cze 2010, o 12:17

\(\displaystyle{ |(x-\pi)|< \sqrt[5]{ \frac{1}{3} }?}\)