obliczeni całki oznaczonej

[baracuda2]

witam

mam problem z obliczeniem całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} 7^{-x} cosx dx}\)

[knrt]

oblicz całkę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \int 7^{-x} \cos x dx}\), a niewłaściwą z definicji

nieoznaczoną przez części

[baracuda2]

to wiem tylko mam problem wlasnie z tym policzenim, na poczatek robilem 2 razy przez czesci ale jakos sie nieupraszczalo

[knrt]

trzeba dwa razy i wracasz do cosinusa. Potem otrzymujesz równanie z którego wyznaczasz szukaną całkę.
Pokaż rachunki

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }=7^{-x}\sin{x}+ln{7}\int{7^{-x}\sin{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }=7^{-x}\sin{x}+ln{7} \left(-7^{-x}\cos{x}-\ln{7}\int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ \int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }=7^{-x}\sin{x}-ln{7} \cdot 7^{-x}\cos{x}-\ln^{2}{7}\int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \left(1+\ln^{2}{7} \right) \int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }=7^{-x}\sin{x}-ln{7} \cdot 7^{-x}\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ \int{7^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }= \frac{1}{1+\ln^{2}{7}} \cdot 7^{-x} \left(\sin{x}-\ln{7} \cdot \cos{x} \right)+C}\)

[baracuda2]

wielkie thx