obliczyc objetosc bryly

[adrianu]

1.\(\displaystyle{ z=-3\sqrt{x^{2}+y^{2}} ,z=0 ,x^{2}+y^{2}+y=0}\)

-- 20 cze 2010, o 19:04 --

\(\displaystyle{ \int \int -3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy= \int \int-3r ^{2}dxdy= \int \int(-3 r^{2})rdr d\phi= \int \int-sin^{3}\phi d\phi}\)

kto pomoze dalej

\(\displaystyle{ 0\le r\le sin\phi [\tex] i 0\le\phi\le\pi}\)

[BettyBoo]

Bryła jest ograniczona od góry płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\), od dołu połową stożka \(\displaystyle{ z=-3\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\), a z boku walcem \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+y=0}\).

Wobec tego

\(\displaystyle{ V=\iint_D (0-(-3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}))dxdy}\)

gdzie \(\displaystyle{ D:\ x^{2}+y^{2}+y\le 0}\).

Narysuj sobie to koło i ustal jeszcze raz zakresy współrzędnych, bo na razie są nie takie jak trzeba.

Pozdrawiam.

[adrianu]

\(\displaystyle{ x^{2}+(y- \frac{1}{2}) ^{2} = \frac{1}{4}}\)


czyli srodek\(\displaystyle{ (0,\frac{1}{2} )}\)

promien\(\displaystyle{ (\frac{1}{2} )}\)

[BettyBoo]

Hm...jak dla mnie to wygląda raczej tak:

\(\displaystyle{ x^{2}+(y+ \frac{1}{2})= \frac{1}{4}}\)

czyli środek \(\displaystyle{ \left(0,-\frac{1}{2} \right)}\)

Pozdrawiam.

[adrianu]

i dalej jak wstawiam x=cos y = sin bo nie rozumiem dalej

[BettyBoo]

No, jak wstawisz współrzędne biegunowe do równania tego okręgu to masz \(\displaystyle{ r=-sin\phi}\) (i to jest ograniczenie górne), a zakres kąta wyznaczysz albo z rysunku albo z warunku \(\displaystyle{ r\ge 0}\).

Pozdrawiam.

[adrianu]

\(\displaystyle{ a\phi bedzie 2\pi i 0}\)-- 20 cze 2010, o 19:37 --zreszta mozesz to rozpisac bo ja juz nie mam pojecia jak to ma byc

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ r=-sin\phi\ge 0\ \Rightarrow \ sin\phi\le 0\ \Rightarrow \ \pi\le \phi\le 2\pi}\)

więc

\(\displaystyle{ V=\iint_D 3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=\int_{\pi}^{2\pi}d\phi\int_0^{-sin\phi}3r\cdot rdr}\)

Pozdrawiam.

[adrianu]

\(\displaystyle{ V=\iint_D 3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=\int_{\pi}^{2\pi}d\phi\int_0^{-sin\phi}3r\cdot rdr=int_{\pi}^{2\pi}d\phi\int_0^{-sin\phi}3r ^{2}= \int_{\pi}^{2\pi}d\phi\int_0^{-sin\phi} r^{3}=\int_{\pi}^{2\pi}( -sin\phi)d\phi=\int_{\pi}^{2\pi} \frac{1}{12}(9cos\phi-cos3\phi)d\phi}\)

[BettyBoo]

Zupełnie nie rozumiem drugiej linijki...przecież normalnie liczysz całki, więc

\(\displaystyle{ =\int_{\pi}^{2\pi}d\phi\int_0^{-\sin\phi}3r ^{2}=\int_{\pi}^{2\pi}\left. r^{3}\right|\limits_0^{-\sin\phi}\ d\phi=\int_{\pi}^{2\pi}-\sin^3\phi\ d\phi}\)

Pozdrawiam.

[adrianu]

i teraz jak bo znowu nie wiem podstawiam pi i 2pi

[BettyBoo]

To jest zwykła całka oznaczona do obliczenia. Robisz podstawienie \(\displaystyle{ \cos\phi=t}\) i wychodzi prosto. Lepiej szybko sobie przypomnij, jak się oblicza całki (nie)oznaczone, bo bez tego w wielokrotnych zginiesz.

Pozdrawiam.

[adrianu]

i tak nie bedzie sie zgadzalo z odpowiedziami \(\displaystyle{ \frac{4}{3}, cos2\pi = 1 i cos\pi=-1}\)