calka zespolona-sprawdzenie
- tomcza
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 2 razy
calka zespolona-sprawdzenie
Policzyc taka calke \(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{dz}{z^{2}+1}}\) gdzie C jest skierowanym dodatnio wzgledem wnetrza konturem o rownaniu \(\displaystyle{ x^{2}+4y^{2}=1}\).
Na mocy tw Cauchego to bedzie tak:?
\(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{dz}{z^{2}+1} =\int\limits_{C} \frac{ \frac{1}{z+i} }{z-i}dz=2 \pi i( \frac{1}{z+i)}) \left| \frac{}{} \right|_{z=i}^{ \frac{}{} } =2 \pi i \frac{1}{2i} = \pi}\)
Jest dobrze?
Na mocy tw Cauchego to bedzie tak:?
\(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{dz}{z^{2}+1} =\int\limits_{C} \frac{ \frac{1}{z+i} }{z-i}dz=2 \pi i( \frac{1}{z+i)}) \left| \frac{}{} \right|_{z=i}^{ \frac{}{} } =2 \pi i \frac{1}{2i} = \pi}\)
Jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
calka zespolona-sprawdzenie
Niedobrze
Narysowałeś sobie ten kontur? To narysuj, a potem umieść na tym rysunku bieguny funkcji podcałkowej. A potem możesz pisać odpowiedź.
Pozdrawiam.
Narysowałeś sobie ten kontur? To narysuj, a potem umieść na tym rysunku bieguny funkcji podcałkowej. A potem możesz pisać odpowiedź.
Pozdrawiam.
- tomcza
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 20 kwie 2009, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 2 razy
calka zespolona-sprawdzenie
tak cos przeczuwam ze wynik tego bedzie rowny 0 , przez obliczenie chyba to trzeba zrobic jako sume 2 calek: pierwsza bedzie z podstaiweniem i a druga z -i. ale nie wiem jak narysowac ten kontur i z niego odczytac
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
calka zespolona-sprawdzenie
Żadna suma. Ten kontur to elipsa - środek w \(\displaystyle{ (0,0)}\), półosie pozioma i pionowa długości odpowiednio \(\displaystyle{ 1,\ \frac{1}{2}}\) - a oba bieguny funkcji podcałkowej leżą na zewnątrz elipsy, wobec tego całka jest równa 0 z tw Cauchy'ego.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
calka zespolona-sprawdzenie
Można, ale musisz normalnie obliczać tą całkę (nie możesz skorzystać z tego tw, z którego skorzystałeś, bo \(\displaystyle{ i}\) nie leży wewnątrz elipsy - przeczytaj sobie jeszcze raz dokładnie założenia). Pytanie tylko - po co, skoro z tw Cauchy'ego masz to natychmiast?
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
calka zespolona-sprawdzenie
Też nie - przeczytaj dokładnie założenia twierdzenia, z którego próbowałeś skorzystać w pierwszym poście. Żeby obliczyć całkę w takiej sytuacji, o której mówisz trzeba skorzystać np z twierdzenia o residuach (pod warunkiem, że są spełnione wszystkie założenia!).
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.