Część całkowita, nierówność

[patry93]

Witam.

Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+}\) zachodzi \(\displaystyle{ [ nx ] \le n [x] +n-1}\)

Próbując indukcyjnie, w kroku ind. powstaje \(\displaystyle{ [ nx+x ] \le n [x] + [x] +n}\)
Ale z założenia ind. jest \(\displaystyle{ [nx] \le n[x]+n-1 \iff [nx]+[x]+1 \le n[x] + [x] +n}\)
Zatem należy pokazać, że \(\displaystyle{ [ nx+x ] \le [nx]+[x]+1}\)
Na co nie mam niestety pomysłu.

Z góry dziękuję.

[Marcinek665]

Rzuca mi się w oczy nierówność trójkąta.

\(\displaystyle{ \left[ x+y\right] \ge \left[x \right] + \left[y \right]}\).

Gdybyśmy zwiększyli prawą stronę o 1, to nierówność zmieniłaby się na przeciwną (chyba widać dlaczego), czyli:

\(\displaystyle{ \left[ x+y\right] \le \left[x \right] + \left[y \right] + 1}\).

Zatem Twój przypadek, to "zmodyfikowana nierówność" trójkąta dla naboru liczb \(\displaystyle{ nx}\) i \(\displaystyle{ x}\)

[?ntegral]

Prawdziwe są nierówności:

\(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor \le x<\lfloor x \rfloor+1}\)

\(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor}\)

Wynika z tego, że:

\(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor +1}\)

[patry93]

Dziękuję.
Dla upewnienia, czy o taki tok rozumowania chodziło:
\(\displaystyle{ [x]+[y] \le [x+y] \le x+y < [x] +1 + [y] + 1 \Rightarrow [x+y] \le [x]+[y]+2-1=[x]+[y]+1}\)
?

Marcinek665 - jeżeli Tobie wyszła teza bez rachunków, tylko przez odpowiedni tok rozumowania, to chętnie również bym posłuchał

[?ntegral]

\(\displaystyle{ [x+y] \le [x]+[y]+1 < [x]+[y]+2}\)

[patry93]

Wybacz, ale nie rozumiem Twojego ostatniego postu - z tezy pokazałeś nierówność, którą ja użyłem jako "pomocy" do tezy - dlaczego?

[Marcinek665]

Marcinek665 - jeżeli Tobie wyszła teza bez rachunków, tylko przez odpowiedni tok rozumowania, to chętnie również bym posłuchał

Spróbuj oszacować od góry i od dołu wyrażenie \(\displaystyle{ \left[x \right] + \left[ y\right] - \left[x+y\right]}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x,y \in Z}\), to całe wyrażenie równe jest zero. Każde z wyrażeń \(\displaystyle{ \left[x+y\right]}\), \(\displaystyle{ \left[x \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ y\right]}\) wraz ze zmianami wartości zmiennych przeskakuje dokładnie o 1 w momencie, gdy zmienna osiąga jakąś liczbę całkowitą. Możemy zatem zauważyć, że w ten sposób największą wartością tego wyrażenia będzie 1, a najmniejszą 0. Trochę zawiłe, ale to kwestia tylko ładnego obrania w słowa.

[?ntegral]

patry93, faktycznie coś nie gra.

Metoda Marcinka665 jest na pewno poprawna.

[patry93]

Marcinek665 -
Ale "osiąganie" liczby całkowitej nie jest tu wcale sprawą prostą - należałoby rozpatrzeć części ułamkowe trzech zmiennych (przy czym jedna, x+y, będzie powiązana z pozostałymi). Osobiście nie widzę innej możliwości, tym bardziej, że moim zdaniem wynikanie w Twoim rozumowaniu nie jest "wprost" (albo czegoś nie widzę).

İntegral - no problem. Mam nadzieję, że przynajmniej w moich rachunkach wszystko jest OK

[smigol]

niech \(\displaystyle{ x=[x]+ \alpha}\), wtedy: \(\displaystyle{ nx=n[x]+ \alpha n}\)
\(\displaystyle{ [nx]=[n[x]+\alpha n]=[\alpha n]+n[x]}\)
Czyli trzeba pokazać, że:
\(\displaystyle{ [\alpha n]+n[x] \le n[x]+n-1 \Leftrightarrow [\alpha n] \le n-1}\)

[Marcinek665]

patry93 - moje rozumowanie jest bardzo proste i jest jedynie 'zobrazowaniem' tego, o czym mówił İntegral. Problemem jest tylko dostatecznie jasne tego opisanie.

Jest to zabieg analogiczny do tego:
Mamy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ n < 1}\).
Ze względu na to, że jest to liczba całkowita, to możemy z drugiej strony odjąć 1 i otrzymujemy nierówność słabą:
\(\displaystyle{ n \le 0}\).

W naszym przypadku mamy jedynie zależność, że \(\displaystyle{ \left[x+y \right] \ge \left[ x\right] + \left[y \right]}\). Jak łatwo zauważyć. Prawa strona może być od lewej mniejsza o 1. Gdy zatem dodamy tą 'zagubioną' jedynkę z prawej strony, to nierówność nam się obróci. Inaczej już nie umiem