[Nierówności] Harda (chyba widziałem na IMO) nierówność.

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a ^{3} + 63bcd} } + \frac{b}{ \sqrt[3]{b ^{3} + 63cda} } } + \frac{c}{ \sqrt[3]{c ^{3} + 63dab} } } + \frac{d}{ \sqrt[3]{d ^{3} + 63abc} } } \ge 1}\)

Idzie z Jensena + jednorodności, ale chciałbym, żeby ktoś miły pomógł mi to zrobić bez użycia tych zabawek

Z góry dzięki

[tkrass]

Są jakieś założenia? Dla ciągu \(\displaystyle{ (-1,-1,-1,1)}\) nie działa.

[smigol]

chyba małe usterki, zaraz wrzucę poprawną wersję.

Edit: błąd w rachunkach po prostu:

miałem pomyłkę w rachunkach tylko:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a^3+63bcd} } \ge \frac{a^{21/16}}{a^{21/16}+b^{21/16}+c^{21/16}+d^{21/16}}}\)

A jak do tego dojść i czemu akurat do tego, to sam pomyśl

[Marcinek665]

Z "czemu" nie mam żadnego problemu, bo to widać na pierwszy rzut oka. Ale z "jak" nadal się nie uporałem

Widzę jedynie, że po podstawieniu a=b=c=d zachodzi równość. Szacować mianownik tez jakoś nie umiem, bo z AM-GM nierówność szłaby w nieodpowiednią stronę. A AM-HM chyba nie ma sensu.

[smigol]

Chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ k}\), dla którego:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt[3]{a^3+63bcd} } \ge \frac{a^{k}}{a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}}}\)
Wtedy po zsumowaniu 4 takich nierówności dostajemy \(\displaystyle{ 1}\) poprawej stronie, czyli to co chcieliśmy.
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{ a^3+63bcd } \ge \frac{a^{3k}}{(a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k})^3}}\)
\(\displaystyle{ (a^k+b^k+c^k+d^k)^3-a^{3k} \ge 63a^{3k-3}bcd}\)
ale z drugiej strony:
\(\displaystyle{ (a^k+b^k+c^k+d^k)^3-a^{3k}=wzor \ skr \ mnozenia \ = wymnozyc \ \ge (AM \ge GM) \ge 63a^{ \frac{15k}{21}} \cdot (bcd)^{ \frac{16k}{21}}}\)
Czyli musi być \(\displaystyle{ 3k-3= \frac{15k}{21}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{16k}{21}=1}\) Tak się szczęśliwie składa, że \(\displaystyle{ \frac{21}{16}}\) spełnia też to pierwsze równanie.

[Marcinek665]

Dzięki, teraz wszystko jasne